0 до -1, синус положителен и снижается от 1 до 0. В третьем квадранте (июль — октябрь) косинус отрицателен, но возрастает от -1 до 0, а синус снижается от 0 до -1. В четвертом квадранте косинус возрастает от 0 до 1 (к декабрю до 0,866), а синус возрастает от -1 до 0 (к декабрю до -0,5). Цикл завершается новым январем. За счет комбинации изменений косинуса и синуса при разных значениях параметров b1 и Ь2 удается отобразить, как показывает табл. 6.4 (графа y^i), любое синусоидальное колебание уровней временного ряда. Имеем: b1 = -484/6 = -80,7; Ь2 = 284/6 = 47,3. Уравнение сезонных колебаний продуктивности коров имеет вид:

y^i = 310 — 80,7∙cos ti + 47,3 sin ti,

где ti = 0° в январе, а месяц = 30° дуги.

Отклонения фактических уровней (но усредненных за ряд лет) от расчетных по ряду Фурье очень малы: максимальное отклонение 7, среднее (по модулю) 3,33, что составляет лишь 1,07 %. Такая точность вполне достаточна для прогнозов и других расчетов. Если же отклонения оказались значительными, следует на основании ряда отклонений повторить расчет, т. е. рассчитать вторую гармонику, и тогда окончательные уровни модели (ряда Фурье) будут представлять собой сумму всех гармоник:

где т — число гармоник;

к — номер гармоники.

Однако если колебания явно не имеют синусоидальной формы, то требуется много гармоник, расчет становится трудоемким и гораздо проще применить метод, описанный в разд. 6.3.2.

6.4. Измерение тренда колеблемости

Неоднократно указывалось на большое значение мониторинга колебаний. Как правило, производство, экономика заинтересованы в уменьшении колеблемости. Чтобы измерить изменение абсолютного показателя силы колебаний S(t), проще всего рассчитать эту величину за последовательные отрезки времени, а затем по полученным значениям S(t)1, S(t)2 и т. д. до S(t)n провести аналитическое выравнивание, т. е. вычислить тренд того или другого типа. Однако для более надежного вычисления меры колеблемости необходимо как минимум 7–9 уровней первичного временного ряда, а для вычисления тренда по этим мерам колеблемости — опять 7–9 таких же частных мер S(t). А для этого первичный ряд должен содержать примерно 8 x 8 = 64 уровня. Такие ряды анализируются нечасто, а значит, пет и условий для расчета тренда мер колеблемости.

Положение отчасти спасает то, что для вычисления тренда колеблемости вовсе необязательно, чтобы за весь изучаемый период существовал единый тренд уровней показателя. Вполне допустимо для расчета тренда колеблемости объединить отрезки времени с разными по типу трендами или с кусочно-линейным трендом. От изменения скорости роста или даже типа роста, или направления тенденции динамики колеблемость зависит мало или совсем не зависит. Но и с учетом этой ее особенности измерить тренд колеблемости по ряду отдельных отрезков времени сложно. При длине первичного ряда в 15–20 уровней получается всего два значения S(t), чего явно не хватает для расчета тренда.

Не вполне корректными с математической точки зрения являются расчет скользящих показателей колеблемости со сдвигом в один период времени и последующее их аналитическое выравнивание. Конечно, скользящие показатели уже зависят друг от друга, но выявить общую тенденцию изменения силы колебаний и приближенно измерить тренд S(t) все же возможно. Покажем применение этого метода на примере временного ряда урожайности зерновых культур во Франции (см. разд. 5.1). В приложении 1 вычислены отклонения уровней от тренда, с которых и начинается измерение тренда среднего квадратического отклонения (табл. 6.5).

Скользящие показатели колеблемости S(t)i будем рассчитывать по 11-летним подпериодам, т. е. первый за 1970–1980 гг., второй ~ за 1971–1981 гг. и т. д. Первая величина S(t) будет относиться к середине подпериода, т. е. 1975 г. и т. д., последняя скользящая средняя за 1985–1995 гг. относится к 1990 г. Итого получаем 16 скользящих значений показателей колеблемости, которые и выравниваем по уравнению прямой.

Тренд среднего квадратического отклонения уровней урожайности от их тренда имеет вид:

S^(t) = 3,42-0,1235 x ti; ti = 0,5 в 1983 г.

Таким образом, имеется тенденция снижения силы колебаний урожайности зерновых культур во Франции за рассмотренный период. Остается проверить надежность расчета среднегодового снижения величины S(t), т. е. сравнить bS(t) со средней ошибкой репрезентативности. Это необходимо для применения полученного тренда силы колебаний в прогнозировании урожайности, т. е. для распространения выборочной оценки на генеральную совокупность периодов времени.

Для указанной цели придется использовать излагаемую только в гл. 7 методику вероятностных оценок параметров.

Средняя ошибка репрезентативности среднегодового изменения — bS(t), т. е.

S¯(t) = 54,65/16 = 3,42; bS(t) = -42,0/340 = -0,1235 ц/га в год.

Здесь в числителе стоит величина среднего квадратического отклонения скользящих значений S(t)i от их трендовых значений S^(t)i (вторая справа графа в табл. 6.5). Имеем:

Критерий Стьюдента[21] равен отношению

bS(t)/mb(S)t = 0,1235/0,0545 = 2,28

Табличное значение критерия Стьюдента при 15 степенях свободы вариации и значимости 0,05 составляет 2,13. Фактическое значение критерия больше табличного, следовательно, можно считать достаточно надежно установленным уменьшение колебаний урожайности зерновых культур во Франции за 1970–1995 гг. (см. также разд. 8.3).

6.5. Автокорреляция отклонений от тренда

Автокорреляция — это корреляция уровней ряда друг с другом либо отклонений от тренда друг с другом, т. е. корреляция внутри одного и того же временного ряда, но с разными сдвигами во времени. Автокорреляция уровней ряда, если она существенна, говорит о наличии тренда, т. е. служит одним из методов обнаружения тренда. В данном разделе рассматривается автокорреляция отклонений от тренда как один из способов исследования колеблемости.

Методика состоит из последовательного вычисления коэффициентов автокорреляции отклонений с разными сдвигами во времени. Коэффициент автокорреляции со сдвигом на один интервал времени был рассмотрен в разд. 6.1. Аналогично строятся и формулы коэффициентов автокорреляции со сдвигом в два, три и т. д. периодов времени. В общем виде коэффициент автокорреляции порядка m, т. е. со сдвигом на m периодов времени, вычисляется по формуле:

Первые (т — 1) отклонений от тренда и последние (т — 1) отклонений участвуют в произведениях (в числителе) по одному разу, остальные — дважды. Соответственно в знаменателе первые (т — 1) квадратов и последние (т — 1) квадратов входят с половинным весом в сравнении со средними отклонениями. Рассмотрим пример расчета коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда и их значения (табл. 6.6).

Авторы расчетов дают следующую интерпретацию серий коэффициентов автокорреляции по Северному региону: «смешанный тип