где Z – случайная переменная.

При переходе к непрерывному времени в геометрической версии пусть – момент остановки. Идея в том, что простое ожидание момента остановки соответствует сроку оставшейся жизни – или характеризует его по порядку величины.

Мы сместили фокус с вероятности на несоответствие между моментом остановки τ для катастрофы и сроком оставшейся жизни.

Принцип устойчивости необходим для следующего аргумента. Эксперименты статичны (мы видели путаницу между пространством состояний и областью времени), а жизнь – континуум. Если вы подвергаетесь крошечной вероятности катастрофы («одноразовый» риск), выживаете, подвергаетесь ей снова (еще один «одноразовый» риск) и так далее, в конце концов вы со стопроцентной вероятностью потерпите крах. Путаница возникает, потому что вам кажется, что, если «одноразовый» риск неопасен, еще один такой риск тоже неопасен. (См. рис. 9.) Хорошие новости: некоторым классам риска можно смело приписать почти нулевую вероятность. Наша планета пережила триллионы естественных перемен, случавшихся ежедневно на протяжении более трех миллиардов лет; иначе нас бы тут просто не было. Можно прибегнуть к доводам условной вероятности (с учетом предвзятости выжившего), чтобы исключить вероятность краха всей системы.

Рис. 9. Почему катастрофа – невозобновляемый ресурс. Сколь бы мала ни была вероятность, со временем то, что неминуемо должно упереться в барьер катастрофы, в него упрется. Никакой риск нельзя воспринимать как «одноразовый»

Мы не должны принимать t → ∞, не нужна нам и постоянная устойчивость. Мы можем просто увеличить срок жизни. Чем больше t, тем сильнее расходятся операторы ожидания.

Рассмотрим безусловный ожидаемый момент остановки (катастрофы) в дискретной упрощенной модели:, где λ – количество моментов риска за один период времени, Т – срок оставшейся жизни, р – вероятность катастрофы, последние две величины – за тот же самый период времени, чтобы зафиксировать р. Поскольку, мы можем калибровать риск при повторении события. Чем больше ожидаемая продолжительность жизни Т (выраженная в периодах времени), тем серьезнее проблема катастрофы. У людей и растений срок жизни короткий, у природы – нет, по крайней мере, для t порядка 108 лет; отсюда вероятность ежегодной катастрофы – O(10–8), а вероятность катастрофы в пределах более короткого промежутка времени – самое большее O(10–50). Чем выше место в иерархии «индивид – вид – экосистема», тем серьезнее проблема катастрофы. Двойственность базируется на том, что t → ∞; поэтому условие не является необходимым для явлений, которые не постоянны, то есть обладают ограниченным сроком жизни.

Мы осветим проблему жирных хвостов подробнее. Разумеется, важна дисперсия процесса, однако любые отклонения, которые не выходят за порог катастрофы, значения не имеют.

При аксиоме устойчивости – «риски нужно принимать так, как если бы вы собирались рисковать вечно», применимо только логарифмическое (или аналогичное) преобразование.

Жирнохвостость – свойство, которое обычно вызывает тревогу при отсутствии компактной области определения случайной переменной; жирные хвосты не так опасны, когда переменные ограничены. Однако, как мы видели, достаточно применить логарифмическое преобразование, чтобы случайная переменная с областью определения [0, ∞) сменила область определения на (–∞, ∞), после чего к нашему анализу можно применить теорию экстремальных значений. Аналогично: если ущерб определен как положительное число с верхней границей Н, соответствующей катастрофе, возможно изменить область определения с [0, H] на [0, ∞).

Крамер и Лундберг открыли существование трудности в страховом анализе, см. Cramér 1930.

Замечание об эргодичности[125]. Эргодичность нельзя определить статистически, ее нельзя наблюдать, и не существует выявляющего ее теста для временно́го ряда, аналогичного тесту Дики – Фуллера для стационарности (или теста Филлипса – Перрона для порядка интегрирования). Важнее следующее:

Если ваш результат получен путем наблюдения за временны́м рядом, как вы можете говорить о вероятностной мере по ансамблю?

Выход здесь тот же, что и в случае арбитражной схемы: статистического теста нет, но, и это главное, есть вероятностная мера, определяемая предположительно (аргумент «бесплатных булочек не бывает»). Далее, рассмотрите аргумент стратегии «самофинансирования» через, например, динамическое хеджирование. В пределе мы допускаем, что закон больших чисел уменьшит отдачу и мы никогда не дойдем до убытков и до поглощающего барьера. Такая ситуация удовлетворяет нашему критерию эргодичности, однако определить ее статистически невозможно. Более того, почти вся литература о межвременных инвестициях / потреблении требует, чтобы вероятность катастрофы была нулевой.