Мы не утверждаем, что данный безопасный или случайный процесс эргодичен; мы утверждаем, что, учитывая вероятность по ансамблю (полученную перекрестными методами, допущенную через субъективные вероятности или просто обусловленную аргументами арбитража), стратегия принятия риска должна обладать подобными свойствами. Эргодичностью обладает функция случайной переменной или процесса, но не сам процесс. И эта функция не должна допускать катастрофы.

Иными словами, если считать, что у компаний из списка S&P 500 есть некая ожидаемая отдача «альфа», эргодическая стратегия генерирует стратегию, скажем, критерий Келли, позволяющую получить условную альфу. Если этого не происходит – из-за поглощающего барьера или по другой причине, – значит, стратегия не эргодическая.

Вероятностные распределения варьируются от тонкохвостых (Бернулли) до чрезвычайно жирнохвостых. Некоторые категории распределений, часто выделяемые по свойствам сходимости моментов: 1) с областью определения, которая компактна, но не вырождена; 2) субгауссово; 3) гауссово; 4) субэкспоненциальное; 5) степенное со степенью больше 3; 6) степенное со степенью меньше либо равной 3 и больше 2; 7) степенное со степенью меньше либо равной 2. В частности, у степенных распределений есть конечное среднее, только если степень больше 1, и конечная дисперсия, только если степень больше 2.

Нас интересует, как в случае, когда хвостовые события чреваты сильными воздействиями, формально определить границу между категориями распределений Среднестана и Крайнестана. Естественная граница между ними проходит по субэкспоненциальному распределению, у которого есть следующее свойство:

Пусть Х = – последовательность независимых и одинаково распределенных случайных переменных (область распределения – с кумулятивной функцией распределения F. Субэкспоненциальный класс распределений определен в Teugels 1975, Pitman 1980:

, где – кумулятивное распределение Х1 + Х2, суммы двух независимых копий Х. Иначе говоря, вероятность того, что сумма Х1 + Х2 превысит значение х, в два раза больше вероятности того, что любая из этих величин превысит х. Следовательно, всякий раз, когда сумма превышает х и значение х достаточно велико, значение суммы достигается за счет какого-то одного слагаемого, превосходящего х – максимума по двум переменным, – а вклад другого слагаемого ничтожен.

В более общем виде можно показать, что в сумме n переменных аналогичным образом доминирует максимум значений по этим переменным. Формально субэкспоненциальному условию эквивалентны два следующих свойства (см. Chistyakov 1964, Embrechts et al. 1979). Для любого n ≥ 2 пусть и Mn= max,

Следовательно, сумма Sn – того же порядка, что и наибольшая выборка Mn, а это – еще один способ сказать, что нет ничего важнее хвостов.

Можно предположить, что хвостовые события в экспоненциальных распределениях «худеют» медленнее, чем в экспоненциальном распределении, для которого жирные хвосты не должны иметь значения. В самом деле, легко показать, что в субэкспоненциальных распределениях нет экспоненциальных моментов:

для значений ε больше нуля. Однако обратное неверно: в распределении может не быть экспоненциального момента, однако оно может не удовлетворять условию субэкспоненциальности.

Отметим, что, если рассмотреть отклонения в области отрицательных значений переменной х, мы получим тот же результат по симметрии для экстремальных отрицательных значений, заменив х → +∞ на х → –∞. Для переменных с двумя хвостами мы можем рассматривать положительные и отрицательные значения отдельно.

Порядок примечаний – тематический, а не последовательный.

Этика. Taleb and Sandis (2013), Sandis and Taleb (2015). См. также: Nagel (1970), Ross (1939); о философии действия см.: Sandis (2010, 2012). Политическая этика: Thompson (1983). Неопределенность и этика: Altham (1984), Williams (1993), Zimmerman (2008). Общие проблемы: Blackburn (2001), Broad (1930). О том, что все взбираются на гору с разных сторон: Parfit (2011). Этика и знания: Pritchard (2002), Rescher (2009).

Сам я в силу своей природы тяготею к этике добродетели, к добродетели ради добродетели, но благодаря книге Дерека Парфита «О том, что имеет значение» (On What Matters, 2011), считающего, что все школы взбираются на одну гору с разных сторон, мы с соавтором Константайном Сэндисом увидели, что шкура на кону объединяет три основные этические системы: императивы Канта, консеквенциализм и античное учение о добродетели.

Проблема принципала – агента и моральный риск в экономике. Ross (1973), Pratt et al. (1985), Stiglitz (1988), Tirole (1988), Hölmstrom (1979), Grossman and Hart (1983).

Принятие решений в исламе при неопределенности. Неопубликованная рукопись Фарида Каркаби, Karkabi (2017), Wardé (2010). Основная концепция – al ġurm fil jurm.

Око за око как небуквальная концепция. Изложение на арамейском – когда маленький человек вредит большому человеку, эквивалентности нет, – переведено неверно. Gadol означает скорее «герой», чем «большой», а qatan – скорее «ничтожный», чем «маленький».