Но вернёмся к примеру 33.

В силу только что сказанного частей нашего подмножества столько же, сколько цепочек плюсов и минусов длины n, а число таких цепочек, как показано в примере 32, есть 2n.

Пример 34. Пусть в алфавите s букв. Сколько в этом алфавите слов длины n?

Рассуждаем как в примере 32. Удлинение на одну букву приводит к увеличению количества слов в s раз. Начиная со слов длины 0, количество коих есть 1, приходим к выводу, что количество слов длины n равно sn.

Пример 35. Дан список из n слов длины n в каком-то алфавите. Как указать слово в том же алфавите, не входящее в заданный список?

Решение проиллюстрируем на частном случае. В качестве алфавита возьмём двухбуквенный алфавит {0; 1}, а список такой: 00100100100; 01011011010; 10011011001; 01111011101; 11001010110; 11111111111; 11010001000; 11001000100; 00000000000; 10101010101; 01010101010. Расположим слова списка одно под другим, так чтобы получилась квадратная таблица:

По идущей от верхнего левого угла диагонали этой квадратной таблицы стоит слово 01011100000. Поменяв в нём все цифры, получим 10100011111, что отличается от всех строк (а заодно и всех столбцов). В самом деле, это слово не может совпасть ни с пятой, скажем, строкой, потому что на пятом месте в этом слове стоит ноль, тогда как в пятой строке на пятом месте стоит единица, ни с десятой строкой, где на десятом месте в этом слове стоит единица, а в десятой строке на этом месте стоит ноль, и вообще ни с одной из строк таблицы.

Изложенный метод иногда называют диагональным, или методом канторовской диагонали. В 1891 г. он впервые был применён в статье Кантора. Это было сделано для доказательства того, что натуральный ряд N и множество Ω всех бесконечных двоичных (т. е. составленных из ноля и единицы) последовательностей обладают различными количествами элементов. Диагональный метод успешно используется при доказательстве некоторых важнейших теорем математики.

Пример 36 (Кантор). Доказать, что множества Ω и N имеют различное количество элементов.

Для этого мы должны установить невозможность взаимно однозначного соответствия между указанными множествами. Рассуждаем от противного. Пусть такое соответствие возможно. Тогда бесконечные двоичные последовательности, из которых состоит множество Ω, можно занумеровать натуральными числами: первая, вторая, третья и т. д. Расположим эти последовательности друг под другом. Возможный вариант такого расположения показан ниже.

Естественно возникает бесконечная диагональная последовательность: в ней на первом месте стоит первый член первой последовательности, на втором – второй член второй последовательности, …, на сотом – сотый член сотой последовательности и т. д. Для показанного варианта диагональная последовательность будет иметь вид 0101110000… Меняем в ней все члены и получаем бесконечную последовательность 1010001111 …, которая отсутствует в нашем перечне в силу причин, изложенных в примере 35. Стало быть, наше предположение, что мы пронумеровали все двоичные бесконечные последовательности, оказалось ложным.

§ 9. Задачи из элементарной комбинаторики

Выражение

Пример 37. Доказать равенство

Пусть множество M имеет n элементов. Каждому его подмножеству A мощности k взаимно однозначно соответствует его дополнение M A, состоящее в точности из тех (n – k) элементов, которые не входят в A. Наличие этого взаимно однозначного соответствия и доказывает равенство.

Пример 38. Доказать равенство

Равенство очевидно, если вспомнить, что количество частей n элементного множества равно 2n (см. пример 33).

Равенство (*) из примера 39 не столь очевидно.

Пример 39. Доказать равенство

Постараемся доказать равенство (*) как можно нагляднее. Возьмём множество M, имеющее 2n элементов, произвольно отберём из него n элементов и назовём их «белыми»; остальные n элементов назовём «чёрными». Каждое подмножество K множества M, содержащее n элементов, есть объединение двух частей – «белой» части A, состоящей только из «белых» элементов, и «чёрной» части B, состоящей только из «чёрных» элементов: K = A ∪ B. Число элементов в каждой из этих частей может варьироваться от 0 до n. Приготовим n + 1 «комнату», на которых выставим номера от 0 до n. Все подмножества мощности n множества M распределим по этим «комнатам», соблюдая следующее правило: в «комнату» с номером k помещаются те подмножества, число «белых» элементов в которых равно k. В каждой «комнате» поставим

Пример 40. Доказать равенство

В множестве мощности (n + 1) выделим какой-то элемент. Совокупность k элементных подмножеств этого множества

Пример 41. Доказать равенство