Совершенно так же доказывается несчётность отрезка, интервала, открытого (без вершины) и замкнутого (включая вершину) луча. Каждая из этих геометрических фигур понимается в данном случае как множество своих точек. Более того, все эти множества оказываются равномощными; говорят, что они континуальны или что они имеют мощность континуума. Сейчас мы докажем заявленную равномощность.

Пример 48. Доказать, что все отрезки на числовой прямой равномощны. Достаточно доказать равномощность произвольного отрезка [a; b] единичному отрезку [0; 1] (тогда все отрезки окажутся равномощными в силу принципа транзитивности). Формула y = (1 – t)a + tb, где t пробегает [0; 1], даёт требуемое взаимно однозначное соответствие между [0; 1] и [a; b]. Приводимая формула имеет наглядную физическую интерпретацию: точка y едет с постоянной скоростью от левого конца отрезка [a; b] к правому и достигает цели в течение единичного интервала времени; каждому моменту единичного интервала соответствует положение точки в этот момент. Следовательно, все отрезки на числовой прямой равномощны.

Пример 49. Доказать, что все интервалы равномощны. Доказательство ведётся так же, как в примере 48, только t пробегает теперь не отрезок [0;1], а интервал]0; 1[.

Пример 50. Доказать, что всякий интервал равномощен прямой.

Формула y = tg x устанавливает взаимно однозначное соответствие между интервалом] –π/2; + π/2[и прямой. А все интервалы равномощны друг другу. Следовательно, всякий интервал равномощен прямой.

Пример 51. Доказать, что интервал]a; b[и отрезок [a; b] равномощны.

Записываем [a; b] =]a; b[∪ {a; b} и вспоминаем результат примера 46.

Континуальность лучей просим читателя рассмотреть самостоятельно.

Пример 52. Как доказать, что существуют иррациональные числа?

Можно предложить прямое доказательство существования иррациональных чисел. Например, указать число √2 и доказать, что оно иррационально. Выше были приведены два таких доказательства: арифметическое (в примере 11) и геометрическое (в примере 19). Но можно предложить и косвенное доказательство.

Множество всех рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно; значит, бывают и числа, не являющиеся рациональными, т. е. иррациональные. Конечно, надо ещё доказать счётность множества рациональных чисел. Счётность множества рациональных чисел вытекает из того, что каждому рациональному числу можно дать имя в виде слова в едином для всех рациональных чисел алфавите.

Изъяснимся подробнее. В качестве единого алфавита выбираем двенадцатибуквенный алфавит {–; /; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. С каждым рациональным числом взаимно однозначно сопоставляем несократимую дробь, а дробь записываем в виде m/n, если она положительна, и в виде – m/n, если она отрицательна; здесь m и n – десятичные записи натуральных чисел. Эту запись m/n или – m/n объявляем именем соответствующего рационального числа. Множество данных имён счётно как подмножество счётного множества всех слов в данном алфавите, а потому счётно и множество всех рациональных чисел.

В примере 52 косвенное доказательство было не намного проще прямого. Но бывают ситуации, когда косвенное доказательство гораздо проще прямого. Именно так обстоит дело в случае трансцендентных чисел.

Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами; в противном случае оно называется трансцендентным. Прямое доказательство существования трансцендентных чисел состоит в предъявлении образца таких чисел. Первое такое предъявление было осуществлено в 1844 г., чем и было доказано существование трансцендентных чисел. Впоследствии было доказано, что трансцендентными являются известные числа e (основание натуральных логарифмов) и π (отношение длины окружности к диаметру). Однако доказать, что число e или число π (или какое угодно другое число) является трансцендентным, довольно сложно. В то же время возможно следующее несложное косвенное доказательство существования трансцендентных чисел. Надо сравнить два множества – несчётное множество всех действительных чисел и множество всех алгебраических чисел – и убедиться, что второе счётно. Счётность следует из того, что каждое алгебраическое число можно «назвать», т. е. присвоить ему некоторое имя. В качестве такого имени проще всего взять выражение, состоящее из двух частей: 1) из записи соответствующего многочлена и 2) порядкового номера рассматриваемого числа среди корней этого многочлена (корни берутся в порядке возрастания).

Нетрудно придумать алфавит, в котором все эти имена записывались бы в виде слов. Некоторые имена окажутся «пустыми» в том смысле, что не называют никакого числа. Так случится, если уравнение не имеет действительных корней, а также если уравнение имеет, скажем, десять таких корней, а мы включили в имя номер сотого корня. Такие имена мы отбрасываем. У каждого действительного числа окажется много имён, из них мы выбираем то, которое идёт первым в пересчёте всех слов придуманного нами алфавита; остальные имена отбрасываем. Таким образом, множество имён алгебраических чисел окажется подмножеством всех слов в некотором алфавите и, следовательно, счётным. Вместе с ним счётным окажется и множество всех алгебраических чисел. Раз множество всех алгебраических чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно, то непременно бывают действительные числа, не являющиеся алгебраическими, т. е. трансцендентные.

замечание. И в примере 52, где доказывалось существование чисел, не являющихся рациональными, и в последующем доказательстве существования чисел, не являющихся алгебраическими, была использована следующая идея: множество «выделенных» чисел (рациональных, алгебраических) допускает пересчёт (поскольку оно счётно), а множество всех чисел не допускает пересчёта (поскольку оно несчётно); следовательно, существуют числа, не являющиеся «выделенными». Более рафинированный вариант этой идеи таков. Имеется множество и подмножество, оба допускают пересчёт. Среди пересчётов выделяются пересчёты специального вида и доказывается, что подмножество допускает такой пересчёт, а объемлющее множество не допускает. Тем самым обнаруживается, что в множестве существуют элементы, не принадлежащие подмножеству. Именно такой рафинированный вариант используется в одном из доказательств знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. Множество всех истинных утверждений арифметики не допускает вычислимого пересчёта, тогда как множество всех доказуемых утверждений арифметики такой пересчёт допускает. Отсюда следует существование истинных утверждений, не являющихся доказуемыми. Этот способ доказательства теоремы Гёделя предложил великий математик Андрей Николаевич Колмогоров.

§ 11. Представление о математических доказательствах меняется со временем

Великий французский математик Анри Пуанкаре писал в 1908 г.:

Если мы читаем книгу, написанную 50 лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости.

Для иллюстрации приведём рассуждение из книги «Введение в анализ бесконечных». Правда, она была опубликована в 1748 г., т. е. не за 50, а за 160 лет до высказывания Пуанкаре, зато сам пример очень нагляден. В названной книге встречаются такие странные, по нынешним меркам, утверждения: «ex = (1 + x/i)i, где i означает бесконечно большое число»;