По-моему, это одно из самых потрясающих доказательств в математике. Мы показали при помощи конечного логического рассуждения, что существует длина, для выражения которой требуется бесконечное число.

Первая теория отрицательных чисел возникла в VII столетии в Индии. В частности, Брахмагупта установил некоторые важные математические свойства таких чисел, например что «долг, умноженный на долг, приносит богатство» – то есть что минус на минус дает при умножении плюс. Интересно отметить, что это положение – не самостоятельный закон, а следствие из аксиом математики. Его доказательство представляет собой весьма увлекательную задачу. Европейцы убедились в существовании чисел, позволяющих решать уравнения такого рода, лишь к XV в. В XIII в. употребление отрицательных чисел даже было запрещено во Флоренции.

Новые числа появлялись и дальше, особенно когда математики столкнулись с проблемой решения уравнений типа х2 = –1. На первый взгляд решение казалось невозможным. Ведь если взять положительное число и возвести его в квадрат, результат будет положительным, а как доказал Брахмагупта, квадрат отрицательного числа также положителен. Когда математики эпохи Возрождения встречали это уравнение, их первой реакцией было предположение о невозможности его решения. И тогда итальянский математик Рафаэль Бомбелли сделал следующий радикальный шаг: он предположил, что существует некое новое число, квадрат которого равен –1. Оказалось, что такое число можно использовать для решения огромной массы уравнений, которые до этого считались нерешаемыми. Интересно, что в некоторых случаях такое мнимое число требовалось лишь в промежуточных вычислениях и не входило в конечный ответ, который содержал только уже привычные, обычные числа, явно дающие решение данного уравнения.

Все это выглядело как математическая алхимия, но многие отказывались допустить новые числа Бомбелли в каноническую математику. Декарт писал о них довольно презрительно, отвергая такие числа как мнимые. С течением времени математики осознали не только их силу, но и тот факт, что их введение в математику, по-видимому, не порождает никаких противоречий. Мнимые числа заняли причитающееся им место в математике только в начале XIX в., отчасти благодаря картинке, которая помогла математикам зримо представить их себе.

Обычные числа (называемые в математике вещественными) были отложены по горизонтальной оси. Мнимые числа, такие как i, как был обозначен квадратный корень из –1, были представлены на вертикальной оси. Эта двумерная картина мнимых, или комплексных, чисел внесла большой вклад в примирение с этими новыми числами. Сила этого представления была подтверждена открытием того факта, что геометрия этой картины отражает арифметику чисел.

Существуют ли еще и другие числа, скрытые за этой гранью, еще не открытые? В надежде открыть другие новые числа можно попробовать рассмотреть другие странные уравнения. Например, как насчет уравнения х4 = –1?

Может быть, для решения этого уравнения необходимы какие-то новые числа? Но одна из величайших теорем XIX в., называемая теперь основной теоремой алгебры, доказала, что использование мнимого числа i и вещественных чисел позволяет решить любое алгебраическое уравнение. Например, если взять

и возвести его в четвертую степень, результат будет равен –1. Мы достигли грани, за которой решение уравнений более не позволяет находить новые числа.

Найденное древними греками доказательство иррациональности квадратного корня из двух было первым из многих математических доказательств невозможности тех или иных вещей. Другое доказательство невозможности касалось так называемой концепции «квадратуры круга». Математическая идея квадратуры круга даже вошла во многие языки в качестве выражения чего-то невозможного. Квадратура круга относится к числу геометрических задач, которые древние греки обожали решать с использованием линейки (без делений) и циркуля (для построения дуг окружностей). Они придумали весьма изобретательные способы построения точных равносторонних треугольников, пятиугольников и шестиугольников при помощи этих инструментов.

Задача о квадратуре круга сводится к построению при помощи этих инструментов квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Как греки ни старались, решение этой задачи им не давалось. Столь же неразрешимую задачу задал оракул на острове Делос. Жители этого греческого острова просили оракула посоветовать им, как избавиться от чумы, которую наслал на них бог Аполлон. Оракул ответил, что им следует удвоить размер алтаря Аполлона. Алтарь этот имел совершенную кубическую форму. Платон истолковал это указание как требование построить при помощи линейки и циркуля второй совершенный куб, объем которого был бы вдвое больше объема первого.

Если объем второго куба равен удвоенному объему первого, значит, длина его стороны должна быть равна произведению длины стороны первого куба на кубический корень из двух. Отмерить квадратный корень из двух просто, так как ему равна длина диагонали квадрата с единичной стороной; однако получить кубический корень из двух оказалось так трудно, что жители Делоса не смогли решить эту задачу. Может быть, при помощи геометрии и математики оракул просто хотел отвлечь внимание делосцев от стоявших перед ними более насущных социальных проблем.

Решение задач о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла (третья классическая задача) оказалось невозможным. Но математики сумели доказать, вне всякого сомнения, что все эти вещи невозможны, только к XIX в. Ключ к доказательству невозможности этих геометрических построений появился лишь с развитием теории групп – языка, используемого для понимания симметрии, который и сам я использую в своих исследованиях. Оказалось, что при помощи циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых являются решениями некоторых типов алгебраических уравнений.

Решение задачи о квадратуре круга требует построения при помощи циркуля и линейки отрезка длиной π на основе отрезка единичной длины. Однако в 1882 г. было доказано, что π – число не просто иррациональное, но трансцендентное, что означает, что оно не является решением никакого алгебраического уравнения. А это, в свою очередь, значит, что квадратура круга невозможна.

Математика очень хорошо умеет доказывать, что что-то невозможно. Одна из самых знаменитых теорем, содержащихся в книгах по математике, – это Великая теорема Ферма, утверждающая, что невозможно найти ненулевые целые числа, удовлетворяющие уравнению

xn + yn = zn,

где натуральное число п больше 2. Это, очевидно, не так в случае n = 2, который соответствует уравнению, выведенному Пифагором для прямоугольного треугольника. Если n = 2, решений существует множество, например 32 + 42 = 52. На самом деле таких решений бесконечно много, и уже древние греки нашли формулу, по которой можно получить все такие решения. Но находить решения часто оказывается гораздо проще, чем доказать невозможность нахождения чисел, которые удовлетворяли бы любым из уравнений Ферма.