предложил «отец математической логики» Готлоб Фреге. А именно: теорема о полноте утверждает, что любое предложение, которое логически не противоречит данной теории, истинно в некоторой модели этой теории.

Приложение II

П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда

От публикатора

Пётр Константинович Рашевский [14 (27).07.1907 – 13.06.1983] эволюционировал в моём сознании от уважаемого специалиста в области дифференциальной геометрии к глубокому философу математики. Не могу вспомнить, на каком курсе, третьем или четвёртом, в мои студенческие годы на мехмате МГУ нам преподавали дифференциальную геометрию. Если на третьем, то я слушал лекции по этому учебному предмету в 1949/50 учебном году, а если на четвёртом – то в году 1950/51. Параллельно для разных учебных групп читали два курса. Один читал профессор Сергей Павлович Фиников [03 (15).11.1883 – 27.02.1964], другой – профессор Рашевский. Кому как повезёт. Мне повезло: я оказался в одной из тех групп, которым было положено слушать Рашевского. Нашему курсу он запомнился, в частности, тем, что приходил на лекции в форме с полковничьими погонами, но не военными, а гражданскими, железнодорожными или связистскими (если вторые существовали). Говорили, что параллельно с университетом он преподаёт в каком-то техническом учебном заведении.

С 1964 г. и до конца своих дней Рашевский заведовал кафедрой дифференциальной геометрии. Перед ним с 1952 г. кафедрой заведовал Фиников. Наконец, первым заведующим (с 1922 г.) был непосредственный предшественник Финикова Вениамин Фёдорович Каган [25.02 (09.03).1869 – 08.05.1953], учеником которого был Рашевский. Принадлежность к научной школе Кагана в значительной степени стимулировала интерес Рашевского к вопросам оснований геометрии. «Основания геометрии» – так назывались и фундаментальный двухтомник Кагана, вышедший в 1905–1907 гг., и его монография, первая часть которой вышла в 1949 г., а вторая – посмертно, в 1956 г., и учебная дисциплина, занятия по которой, проводимые Каганом, я посещал на первом курсе. Так же назывался изданный в 1948 г. под редакцией Рашевского русский перевод классического сочинения великого математика Давида Гильберта «Grundlagen der Geometrie». Рашевский написал для этого издания замечательную вступительную статью «"Основания геометрии" Гильберта и их место в историческом развитии вопроса», а также снабдил издание не менее замечательными комментариями.

В начале 1972 г. Пётр Константинович обратился ко мне с просьбой критически посмотреть короткий текст на тему оснований математики, который он собирался опубликовать. Продолжая видеть в нём своего профессора, я был польщён. Текст поразил меня глубиной и оригинальностью мысли. Вскоре он был опубликован в журнале «Успехи математических наук» (1973. Т. 28. Вып. 4 (172). С. 243–246) под заголовком «О догмате натурального ряда».

В качестве эпиграфа к своей статье Рашевский взял знаменитую фразу Леопольда Кронекера, которая перекидывает мост между публикуемым выше в данном сборнике очерком «Апология математики», где эта фраза комментируется, и помещаемой ниже статьёй П. К. Рашевского.

Целые числа создал Господь Бог, остальное – дело рук человеческих.

Л. Кронекер

Конечно, никто в настоящее время не воспринимает слова Л. Кронекера в буквальном смысле, да вряд ли понимал их буквально и он сам. Но если прочесть их в надлежащей транскрипции, то они, пожалуй, выражают в некотором смысле господствующее умонастроение математиков до нашего времени включительно.

Этим я хочу сказать, что натуральный ряд и сейчас является единственной математической идеализацией процессов реального счета[182]. Это монопольное положение осеняет его ореолом некой истины в последней инстанции, абсолютной, единственно возможной, обращение к которой неизбежно во всех случаях, когда математик работает с пересчётом своих объектов. Более того, так как физик использует лишь тот аппарат, который предлагает ему математика, то абсолютная власть натурального ряда распространяется и на физику и – через посредство числовой прямой – предопределяет в значительной степени возможности физических теорий.

Быть может, положение с натуральным рядом в настоящее время имеет смысл сравнить с положением евклидовой геометрии в XVIII в., когда она была единственной геометрической теорией, а потому считалась некой абсолютной истиной, одинаково обязательной и для математиков, и для физиков. Считалось само собой понятным, что физическое пространство должно идеально точно подчиняться евклидовой геометрии (а чему же ещё?). Подобно этому мы считаем сейчас, что пересчёт как угодно больших материальных совокупностей, измерение как угодно больших расстояний в физическом пространстве и т. п. должны подчиняться существующим схемам натурального ряда и числовой прямой (а чему же ещё?).

Разница лишь в том, что на первый вопрос в скобках дало ответ развитие науки в XIX–XX вв. (неевклидова геометрия, а позже теория относительности), а на второй, как мне кажется, ответ предстоит ещё дать.

Я хорошо понимаю, что те соображения на эту тему, которые меня давно занимают, ориентировочны и бездоказательны, но всё же в порядке постановки вопроса решаюсь их высказать.

Процесс реального счёта физических предметов в достаточно простых случаях доводится до конца, приводит к однозначно определённому итогу (число присутствующих в зале, например). Именно эту ситуацию берёт за основу теория натурального ряда и в идеализированном виде распространяет её «до бесконечности». Грубо говоря, совокупности большие предполагаются в каком-то смысле столь же доступными пересчёту, как и малые, и со столь же однозначным итогом, хотя бы реально этот пересчёт и был неосуществим. В этом смысле наше представление о натуральном ряде похоже на зрительное восприятие панорамы, скажем панорамы какого-либо исторического сражения. На первом плане на реальной земле расположены реальные предметы: разбитые пушки, расщеплённые деревья и т. п.; затем всё это незаметно переходит в раскрашенный холст с точным расчётом на обман даже очень внимательного глаза.

В рамках математической теории подобная идеализация процесса счёта, разумеется, вполне законна. Но ввиду единственности теории эта точка зрения автоматически навязывается и физике; однако здесь вопрос поворачивается по-другому. В самом деле, пусть мы хотим узнать, сколько молекул газа заключено в данном сосуде. Должны ли мы искать ответ в виде совершенно точно определённого целого числа? Оставим в стороне вопрос о ненужности такой «точности» для физики, не будем останавливаться и на фактической трудности задачи. Гораздо более важной для нас является её принципиальная неосуществимость: молекулы газа взаимодействуют со стенками сосуда, испытывают различные превращения и т. п., а потому наша задача просто не имеет определённого смысла. Физик вполне удовлетворяется – в этом и в аналогичных случаях – достаточно хорошим приближённым ответом. Из этого примитивного примера можно усмотреть некоторый намёк. А именно: можно думать, что математик предлагает физику не совсем то, что тому нужно. Духу физики более соответствовала бы математическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в каком-то смысле «размытый вид», а не являлись строго определёнными членами натурального ряда, как мы это себе представляем. Существующая теория, так сказать, переуточнена: добавление единицы меняет