грани используются рассуждения, сходные с теми, которые в другой ситуации приводят к знаменитому парадоксу Рассела о множестве всех множеств, не содержащих самого себя в качестве элемента. Ниже, в разделе III статьи А. Н. Колмогорова, этот парадокс Рассела будет изложен.

5. Сейчас английская фамилия Russell передаётся как Рассел.

6. Сейчас голландская фамилия Brouwer передаётся как Брауэр.

7. Русский перевод: Гильберт Д. Основания геометрии. – М.-Л., 1948.

8. Такая система предметов и отношений называется моделью рассматриваемой совокупности аксиом.

9. В литературе по основаниям математики термин логистика понимается в двух близких значениях: 1) как учение о формализованных языках, ограничивающееся чисто синтаксическими методами конструирования и анализа этих языков без апелляции к их семантике; 2) как направление в основаниях математики, пытающееся свести математику к логике (это направление называют также, и притом более часто, логицизмом).

10. Значение термина «предмет» имеет более абстрактный характер, чем значение термина «вещь». Ср. «предмет исследований» и «С вещами на выход!».

11. Сейчас трансфинитные числа, т. е. порядковые типы вполне упорядоченных множеств, чаще называют порядковыми числами, или ординалами. При этом порядковые числа конечных множеств образуют первый класс, а порядковые числа счётных множеств – второй. Каждое трансфинитное число третьего класса является порядковым типом некоторого несчётного множества. Речь здесь идёт о несуществовании чисел третьего класса в некоем неформальном представлении о «реальном с существовании», оставленном в статье без попытки его уточнить. Заметим, что уточнить его не так просто. Ведь буквальное следование этому представлению приводит к тому, что, хотя каждый ординал второго класса существует, множества всех таких ординалов не существует. Действительно, если бы указанное множество существовало, то его порядковое число принадлежало бы третьему классу. Возможно, что, говоря о «несуществовании» ординалов третьего класса, Колмогоров имеет в виду несуществование множества всех таких ординалов в целом, притом что существование отдельных «небольших» ординалов третьего класса допускается. Возможно также, что утверждение о «несуществовании» следует здесь понимать как констатацию того факта, что не известны такие математические задачи вне сферы теории множеств и некоторых специальных разделов алгебры и общей топологии, которые приводили бы к ординалам третьего класса.

12. В частности, без этого принципа невозможно доказать такие общеизвестные факты: эквивалентность различных определений непрерывности функции в заданной точке; наличие у произвольного бесконечного множества счётного подмножества; счётность счётного объединения счётных множеств; счётную аддитивность меры Лебега и т. п. Вспомнив соответствующие доказательства, нетрудно обнаружить применения этого принципа.

13. В наших комментариях для удобства условимся говорить «коллекция множеств» вместо «множество множеств». К приведённой в комментируемой статье формулировке принципа произвольного выбора, или аксиомы Цермело, необходимо добавить, что никакие два различных множества из рассматриваемой коллекции не должны иметь общих элементов (а иначе требуемого множества может и не существовать).

14. Читателю полезно отдавать себе отчёт в том, что в примере с сапогами соответствующая конструкция как раз имеется: она состоит в образовании множества правых сапог. Теперь представим себе, что каждая пара состоит из двух правых сапог одинакового размера и цвета. Тогда предложенная конструкция не работает и однозначно определить или назвать какое-либо множество сапог, содержащее ровно по одному сапогу из каждой пары, не представляется возможным. Именно неконструктивность по сути аксиомы Цермело (она же аксиома выбора, она же принцип произвольного выбора) лишает её бесспорности. Ведь гипотетическое лицо, выбравшее на основе этой аксиомы по одной точке каждого из предъявленных множеств и собравшее все эти точки в новое множество, не в состоянии идентифицировать это новое множество, не в состоянии отличить одно такое множество от другого, образованного тем же неопределённым, неконструктивным способом.

15. Вот яркий пример. При помощи аксиомы Цермело удаётся доказать следующую теорему, не укладывающуюся в привычные рамки геометрической интуиции: существует такое разбиение шара на конечное число частей, что, передвигая эти части в пространстве, из них можно сложить два таких же шара. (Для ясности: под шаром понимается самый обычный шар в трёхмерном евклидовом пространстве, а под движением – преобразование, составленное из поворотов и параллельных переносов.) Кажется, что эту теорему можно легко опровергнуть, произведя подсчеты объёмов, но всё дело в том, что каждая из частей разбиения отнюдь не является «сплошной», а представляет собою множество точек, настолько прихотливо расположенных, что оно, это множество, не имеет объёма (на точном математическом языке не является измеримым). Указанную теорему получили в 1924 г. польские математики Банах и Тарский, и сформулированное в ней утверждение принято называть парадоксом Банаха – Тарского.

Парадокс Банаха – Тарского может быть усилен в двух направлениях. Во-первых, как исходный шар, так и результирующая пара шаров могут быть заменены на произвольные множества из обширного класса множеств. А именно: пусть А и В суть два множества в трёхмерном евклидовом пространстве, каждое из коих ограничено и обладает непустой внутренностью; тогда существует такое разбиение множества А на конечное число частей, что, передвигая эти части, из них можно сложить множество В. Говоря образно, бильярдный шар можно разломать на конечное число частей и затем сложить из этих частей планету или – при другом способе разламывания – цветок (разумеется, в подобного рода метафорических иллюстрациях словосочетанию «можно разломать» не следует придавать буквального физического смысла). Во-вторых, если в качестве А взять шар, а в качестве В – пару конгруэнтных с А шаров, то для переделки А в В достаточно разбить А на пять частей (меньшего числа частей уже недостаточно). Доказательства этих двух усилений можно найти, например, в интернете, в статье Francis Е. Su «The Banach – Tarski Paradox» (http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/banachtarski.pdf, см. там соответственно теоремы 14 и 20). Вообще, парадокс Банаха – Тарского достаточно освещён в литературе; среди публикаций выделяются энциклопедическая монография S. Wagon «The Banach – Tarski paradox» (Cambridge etc., 1985. XVI. 251 p.) и популярная статья R. M. French «The Banach – Tarski Theorem» (The Mathematical Intelligencer. 1988. Vol. 10. № 4. Pp. 21–28).

16. И действительно, как показал в 1970 г. Соловей (Solovay), такая точка зрения (все множества измеримы) не может привести к противоречию. Вместе с тем ещё за 20 лет до этого П. С. Новиков построил точечное множество (так называемое второе множество Новикова), относительно которого непротиворечиво полагать, что оно неизмеримо. (В подобных результатах «построить объект» понимается в смысле 'указать имя объекта в языке теории множеств', так что использование аксиомы Цермело не допускается.)

17. При доказательстве указанных в комментарии 12 общеизвестных фактов из математического анализа необходим лишь ослабленный случай общего принципа, постулирующий существование требуемого множества в ситуации, когда рассматриваемая коллекция множеств счётна. Этот частный принцип носит название счётной аксиомы выбора; именно без этой счётной аксиомы и нельзя обойтись при изложении начальных глав анализа.

Приведём для контраста пример использования континуальной аксиомы выбора, когда выбор элементов осуществляется применительно