с точки зрения материальных прообразов математических операций. Так, «сложив» два мешка зерна путём ссыпания их в третий мешок, мы получим «сумму», но безвозвратно потеряем «слагаемые». Восстановить же их мы можем лишь приближённо. Возможно, и в нашей гипотетической теории придётся принять, что участие объекта в конструировании другого объекта некоторым образом влияет на первый объект, вызывая в нём какие-то изменения. Это не нужно, конечно, понимать как определённое предложение; я хочу лишь пояснить, какого рода могло бы быть серьёзное отклонение логической структуры от обычной.

Возможен и другой вариант сказанного. Обычную точку зрения можно трактовать так: любой объект существует в неограниченном количестве абсолютно одинаковых копий, и, когда одна из них «истрачена» на конструкцию другого объекта, остаётся сколько угодно других. Возможно, в нашей гипотетической теории придётся отказаться от абсолютной одинаковости «копии» и принять, что они «изготовляются» в пределах некоторых «допусков». Кстати, это хорошо соответствует идее «размытости» объектов теории, о чём говорилось ранее.

Заканчивая эту заметку, я понимаю, конечно, что ничего не доказал, да и не пытался что-либо доказать. Я хотел только привлечь внимание к проблематике, которую смог обрисовать – это также нужно признать – лишь весьма туманно. Но обрисовать её более ясно – это уже означало бы продвинуться и в её решении.

Мне неизвестны какие-либо печатные материалы по затронутой теме, но в устной передаче я слышал, что о ней думали; по-видимому, в чём-то родственные соображения относительно натурального ряда высказывал в своё время Н. Н Лузин.

Сведения о предыдущих публикациях статей

Все статьи сборника были в своё время опубликованы. Шесть из них – в книге: Успенский В. А. Труды по нематематике: В 2 т. Т. 1. – М.: ОГИ, 2002. – 580 с. Ниже при ссылках сокращённо обозначается так: [ТпН-1].

Для данного издания все статьи – за исключением, разумеется, не принадлежащих автору и включённых в качестве приложений I и II – перерабатывались, причём в отдельных случаях довольно существенно. Таким образом, указанные ниже предыдущие варианты могут значительно отличаться от публикуемых в этом сборнике.

1. Из предисловия к сборнику переводов «Математика в современном мире»

а. Математика в современном мире / Пер. с англ. Н. Г. Рычковой. – М.: Мир, 1967. – С. 5–11.

б. [ТпН-1]. С. 266–273.

2. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера

а. Знамя. 2007. № 12. С. 165–173.

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 5–51.

3. Апология математики, или О математике как части духовной культуры

а. Новый мир. 2007. № 11. С. 127–149; № 12. С. 123–149. (Приложение к главе 3 публиковалось в качестве отдельной статьи в продолжающемся издании: Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. XIII. – М.: Янус-К, 2009. – С. 273–283.)

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 52–285.

4. О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'

а. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. – М.: Физматлит, 1965. – С. 12–24.

б. [ТпН-1]. С. 163–173.

в. Шиханович Ю. А. Введение в математику. – М.: Научный мир, 2005. – С. 16–27.

г. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 286–299.

5. Из книги «Что такое аксиоматический метод?»[183]

а. [ТпН-1]. С. 27–41.

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 300–322.

6. Простейшие примеры математических доказательств

а. Успенский В. А. Простейшие примеры математических доказательств. – М.: Изд-во МЦНМО, 2009. (Библиотека «Математическое просвещение». Вып. 34.)

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом «Амфора»», 2015. С. 323–398.

7. Семь размышлений на темы философии математики

а. Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты / Отв. ред. М. И. Панов. – М.: Наука, 1987. – С. 106–155.

б. [ТпН-1].С. 63–110.

в. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. С. 399–470.

8. Опыт применения математики к филологии: анализ фрагментов текстов Гоголя и Достоевского (под названием «К проблеме линейности языка: по поводу одного недоумения князя Л. Н. Мышкина»)

а. Вопросы филологии. 1999. № 3. С. 34–42.

б. [ТпН-1]. С. 562–576.

9. Колмогоров [Статья для философской энциклопедии]

а. Новая философская энциклопедия: В 4 т. Т. 2. – М.: Мысль, 2001. – С. 272–274.

б. [ТпН-1]. С. 21–26.

10. Приложение I. А. Н. Колмогоров. Современные споры о природе математики

а. Научное слово. 1929. № 6. С. 41–54.

б. Проблемы передачи информации. 2006. Т. 42. Вып. 4. С. 146–158. [С комментариями В. А. Успенского, но без комментариев редакции «Научного слова».]

в. Колмогоров А. Н. Избранные труды: В 6 т. Т. 4: Математика и математики. Кн. 1: О математике / Отв. ред. и сост. А. Н. Ширяев. Подготовка текста Т. Б. Толозова, Н. Г. Xимченко. – М.: Наука, 2007. – С. 259–271. [С комментариями редакции «Научного слова», но без комментариев В. А. Успенского.]

11. Приложение II. П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда

Успехи математических наук. 1973. Т. 28. Вып. 4 (172). С. 243–246.

12. Математика языка

а. B. H. Partee, A. ter Meulen, R. E. Wall. Mathematical Methods in Linguistics. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1990. – 663 p. (Studies in Linguistics and Philosophy. Vol. 30.)

б. Математическая составляющая / Ред. – сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. – М.: Фонд «Математические этюды», 2015. – С. 98–103.

13. О «Лингвистических задачах» А. А. Зализняка

Предисловие / Зализняк А. А. Лингвистические задачи / С предисловием В. А. Успенского. – 2-е изд. – М.: МЦНМО, 2013. – С. 1–5.

Сноски

1

Сведения о предыдущих публикациях приведены в конце настоящего издания.

2

Прошу читателя иметь в виду, что этот текст впервые был опубликован в 1967 г. К этому периоду и следует относить слово «современный».

3

Множество – принятый в математике синоним слова «совокупность».

4

На первый взгляд кажется непостижимым, что у такого «наглядного понятия», как совокупность, могут быть разные математические модели; но ведь в прошлом веке, да и сейчас ещё, многим было столь же непонятно, что возможны различные математические модели «наглядного» представления о расположении прямых на плоскости.

5

Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965. С. 23.

6

Колмогоров А. Н. Простоту – сложному // Известия. 1962. 31 дек.

7

Колмогоров А. Н. Новгородское землевладение XV века. – М.: