к континуальной коллекции множеств. А именно с опорой на эту аксиому докажем такую теорему: если объединение двух множеств континуально, то хотя бы одно из этих множеств континуально. (Стандартное доказательство основано на наделении континуума порядком, превращающим его во вполне упорядоченное множество, что, в свою очередь, требует применения аксиомы выбора к коллекции, мощность которой превосходит континуальную.)

В силу теоремы Кантора – Бернштейна достаточно доказать, что если плоскость представлена как объединение двух множеств, то хотя бы одно из слагаемых содержит континуальное подмножество; это и будем доказывать. Если какая-то из вертикальных прямых целиком содержится в первом слагаемом, то она и образует искомое подмножество первого слагаемого. Если же это не так, то на каждой вертикали найдётся точка из второго слагаемого; континуальная аксиома выбора позволяет выбрать на каждой вертикали ровно по одной такой точке; выбранные точки образуют искомое подмножество второго слагаемого.

Рассмотрение счётных множеств и, в частности, натурального ряда требует менее высокого уровня абстракции, чем рассмотрение множеств континуальных. (Ведь даже представление о множестве всех точек прямой – это довольно сложная абстракция.) Поэтому счётная аксиома выбора вызывает меньше недоверия, нежели континуальная (и тем более нежели связанная с ещё более высокими мощностями). Вот что в 1905 г. писал Борель о несчётной аксиоме выбора в краткой заметке, давшей толчок к его упоминавшейся переписке с Адамаром и др.: «Возражения, которые можно выставить здесь, действительны и для всякого рассуждения, в котором предполагается произвольный выбор, совершённый несчётное множество раз; такие рассуждения находятся вне пределов математики» (Remarques sur les principes de la théorie des ensembles // Mathematische Annalen. 1905. B. 60. S. 194–195). При любом конкретном применении аксиомы выбора можно ограничиться её частным вариантом, связанным с конкретной мощностью соответствующей коллекции множеств. Иногда удаётся добиться понижения этой мощности, как это мы видели только что на примере континуальной аксиомы выбора.

В функциональном анализе используется и аксиома выбора в общем виде (т. е. в той формулировке, где на мощность рассматриваемой коллекции множеств не налагается никаких ограничений): она участвует, например, в доказательстве теоремы Хана – Банаха. С её помощью доказывается и теорема о том, что каждый фильтр на каком-либо множестве вкладывается в ультрафильтр на том же множестве и, как следствие, что на всяком бесконечном множестве существует нетривиальный (он же свободный) ультрафильтр, т. е. такой ультрафильтр, который не содержит конечных множеств. Аксиома выбора в общем виде эквивалентна известной лемме Цорна, широко используемой в абстрактной алгебре, а также теореме Цермело о том, что всякое множество можно вполне упорядочить. В вышеназванной краткой заметке Борель указывал, что в теореме Цермело фактически доказывается не утверждение о возможности полного упорядочения любого множества, а лишь эквивалентность этого утверждения аксиоме выбора.

18. Термин «неперечислимый» используется здесь в смысле 'несчётный'. В наши дни такая терминология не применяется, а указанный термин имеет другое значение. (Это другое значение связано с теорией алгоритмов. А именно: непустое множество конструктивных объектов называется перечислимым, коль скоро его можно расположить в вычислимую последовательность, и неперечислимым – в противном случае; пустое множество считается перечислимым по определению.)

19. Применительно к аксиоме Цермело обещание Гильберта было осуществлено Куртом Гёделем в 1938 г. Гёдель доказал, что добавление этой аксиомы к другим, «менее спорным», аксиомам теории множеств не в состоянии вызвать противоречия – при условии, правда, что совокупность этих других аксиом сама непротиворечива. При том же условии через четверть века было доказано (это сделал Коэн), что аксиома Цермело не выводима из других аксиом теории множеств. При этом непротиворечивость системы аксиом теории множеств (будь то с аксиомой Цермело или без оной) приходится принимать на веру, поскольку доказать её невозможно в принципе – по крайней мере с помощью тех средств, которые доступны современной математике; это вытекает из так называемой второй теоремы Гёделя.

20. Метаматематикой называют дисциплину, объектом которой являются математические теории (это, так сказать, «теория теорий»).

21. В 1930 г. надежда на то, что программа Гильберта в своём развитии способна охватить всю математику, была разрушена знаменитой теоремой Гёделя о неполноте (называемой также первой теоремой Гёделя). Согласно этой теореме, при любой разумной попытке формализовать понятие доказательства неизбежно обнаруживаются утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках избранной формализации. Такие утверждения называются неразрешимыми (в данной теории!). Ясно, что если утверждение неразрешимо, то неразрешимо и его отрицание. Каждое неразрешимое утверждение можно без появления противоречий присоединить к исходным аксиомам теории; в расширенной таким способом теории наше утверждение перестанет быть неразрешимым: оно станет доказуемым, а его отрицание – опровержимым. Однако для расширенной теории снова можно будет указать неразрешимое в ней утверждение и т. д.

Мы (и притом в приблизительном виде) привели здесь синтаксическую версию теоремы Гёделя, не апеллирующую к представлению об истинностном значении утверждения. (Подлинная формулировка самого Гёделя была именно синтаксической.) Придирчивый читатель справедливо заметит, что в таком случае сам термин «утверждение» не вполне уместен, ведь при его использовании обычно подразумевается, что всякое утверждение имеет истинностное значение в двузначной логике, т. е. является либо истинным, либо ложным. И действительно, для полной строгости следовало бы говорить не об утверждениях, а о формулах специального вида (иногда их называют предложениями), начинающих выражать утверждения после того, как формулы рассматриваемой теории наделяются семантикой, а точнее, истинностными значениями. Полезно понимать, что такое наделение формул семантикой не всегда возможно. Прежде всего это невозможно для теории множеств в её полном объёме. В самом деле, вряд ли уместно говорить об истинности или ложности, скажем, аксиомы выбора или гипотезы континуума. Для менее амбициозных теорий, не претендующих на то, чтобы сравняться глобальностью с теорией множеств, – в частности, для арифметики, – наполнение их формул двузначной семантикой оказывается возможным. А тогда при естественном предположении, что доказать можно лишь формулы, выражающие истинные утверждения, из синтаксической версии теоремы Гёделя легко получается её семантическая версия: при любой разумной попытке формализовать понятие доказательства неизбежно обнаруживаются утверждения, которые, будучи истинными, не допускают доказательства в рамках избранной формализации.

Отметим, что утверждения, о которых идёт речь в теореме Гёделя, отнюдь не следует искать в заоблачных математических высях. Нет, они суть утверждения об обычных натуральных числах. Теорема Гёделя о неполноте была первым строго установленным фактом той самой теории математического познания, о которой Колмогоров говорит выше, в разделе I своей статьи. Она явилась как гром среди ясного неба: никто и вообразить не мог, что подобные результаты вообще возможны. Тем более что она явилась на фоне другой теоремы, ненамного ранее также полученной Гёделем, но, напротив, вполне ожидаемой – теоремы о полноте, содержание коей состоит в подтверждении мощи той формализации процедуры логического доказывания, которую ещё в конце XIX в.