этом нет. Из его огромного научного наследия сохранилась только критика поэмы, написанной Аратом на основе наблюдений Евдокса, но некоторую информацию удается почерпнуть в «Географии» Страбона, «Альмагесте» Клавдия Птолемея и «Математическом собрании» Паппа Александрийского.

Гиппарх написал две книги, в которых излагал различные способы определения расстояний до Луны и Солнца. В первой книге рассматривалось солнечное затмение 129 года до нашей эры. В тот день Луна полностью закрыла Солнце при наблюдении из Никеи (обозначена H на чертеже), но одновременно с этим в Александрии (обозначена A) Солнце было закрыто лишь на 4/5 своего диаметра. Поскольку ранее Гиппарх установил, что видимые размеры Луны и Солнца почти одинаковы, и составляют 1/650 часть круга (примерно 0,55° или 33’), то несложно понять следующее: в момент затмения разность углов между направлениями на Луну от Никеи и Александрии составляла 1/5 от 0,55°, то есть 0,11°.

Здесь Гиппарх исходил из того, что Солнце находится очень далеко и его параллакс пренебрежимо мал (это действительно так, поскольку смещение Солнца при наблюдении из различных точек Земли невозможно заметить невооруженным глазом). Для Луны же параллакс оказывается весьма значительным, и в зависимости от положения наблюдателя Луна кажется смещенной от расчетного положения относительно звезд и Солнца. Греки объясняли это тем, что движение Луны происходит относительно центра Земли, а наблюдатели всегда находятся на ее поверхности, поэтому расстояние от них до Луны заметно изменяется (это можно считать верным даже с точки зрения современной физики).

Поскольку полагалось (и это близко к истине), что Александрия и Никея находятся на одном меридиане, а их широты (31° и 40° северной широты соответственно) были твердо установлены из наблюдений за Солнцем и сомнений не вызывали, то был известен и угол ϕ = 9° между H и A. Также были тщательно измерены направления на Луну в момент затмения. Иными словами в системе треугольников между точками T, L, A и H были известны все углы, а кроме того отрезки TH и TA являлись радиусами Земли. Далее оставалось лишь произвести трудоемкие, но вполне понятные тригонометрические вычисления, для которых Гиппарх самостоятельно составить подробную таблицу хорд (аналог таблицы двойных синусов). Также Гиппарх учел обнаруженное им ежемесячное изменение видимого размера Луны (для Солнца этот эффект не наблюдался), после чего установил, что расстояние от Земли до Луны изменяется в диапазоне от 71 до 83 радиусов Земли (реальная средняя величина составляет 60 радиусов Земли).

В другой своей книге Гиппарх приводит метод определения расстояния до Луны, практически аналогичный тому, что использовал Аристарх, но с учетом ряда уточнений:

— суточный параллакс Солнца принят максимально возможным и равный 7′ (большую величину, по мнению Гиппарха, уже можно заметить без специальных оптических инструментов), что дает нам минимально возможное расстояние;

— во время лунного затмения ширина земной тени составляет 2,5 диаметра Луны.

В результате вычислений получалось, что расстояние до Луны находится в пределах от 62 до 72,66… радиусов Земли. Расстояние до Солнца при этом составило 490 земных радиусов (у Аристарха получилось 392 радиуса).

Поскольку самое большое расстояние до Луны, определенное вторым методом, оказалось лишь чуть больше самого малого значения для первого метода, Гиппарх был вынужден признать наличие некоторых неточностей в своих построениях и исходных данных. В первую очередь указанная проблема была вызвана слишком большой величиной, принятой для Солнечного параллакса, а если уменьшать его значение, то среднее расстояние до Луны в схеме Гиппарха будет стремиться к 59 земным радиусам при истинном значении в 60. Цифра 7′ была выбрана из общих соображений и не имела под собой никаких серьезных оснований, причем Гиппарх это понимал, но ему не пришло в голову повторить свой расчет для иных исходных данных.

Геометрические построения, которые требуется произвести для определения расстояния до Луны по ее параллаксу, не так уж и просты. В качестве исходных данных примем угол между широтами Александрии и Никеи ϕ, а также углы α и β направлений на Луну, отмеренные от вертикалей в точках наблюдения. Обозначим центр Земли как Т, а центр Луны как L. Введем также вспомогательную точку K в месте пересечения прямых TA и HL.

Как легко увидеть, в треугольнике THK угол при вершине H будет равен 180°-β, а угол при вершине K будет составлять 180°-(180°-β)-ϕ = β-ϕ. Аналогично, в треугольнике AKL угол при вершине K будет равен 180°-β+ ϕ, а угол при вершине L составит β-ϕ-α.

Поскольку Т является центром земли, то TH = TA = RT, и мы можем воспользоваться теоремой синусов (чего не мог сделать Гиппарх, поскольку в античности не знали этой теоремы и применяли куда более сложные преобразования), согласно которой в любом треугольнике длина каждой стороны пропорциональна синусу противолежащего угла. Иными словами

и

Теперь для треугольника TAL мы можем применить теорему косинусов (которую Гиппарх также не знал) и определить расстояние до Луны

В последней формуле нам известны уже все величины, выраженные через радиусы Земли, поэтому необходимо лишь подставить их под корень и произвести расчет.

Что касается вычислений, то перед Гиппархом стояла еще одна трудность. Дело в том, что в арсенале античных математиков отсутствовали не только тригонометрические теоремы, но и понятия синуса и косинуса. Вместо них использовали понятие хорды угла, которое определялось следующим образом. Пусть имеется угол θ, и через его вершину проведена окружность единичного радиуса. Хордой называться отрезок, соединяющий точки пересечения лучей угла с окружностью.

Несложно увидеть, что хорда угла

поэтому ясно, что для тригонометрических вычислений достаточно составить подробную таблицу хорд углов (проделав огромное число построений и расчетов), и она вполне сможет заменить таблицу синусов, хотя пользоваться ей будет не так удобно.

В большинстве случаев длины хорд будут выражаться достаточно сложными дробями, для работы с которыми грекам подходили только лишь вавилонские цифры. Именно поэтому в античных астрономических расчетах, и вообще в любых расчетах, связанных с делением круга на части, обычно использовали шестидесятеричную систему счисления. Так, например значение хорды для угла 45° записывалось как 45 55 19, и это необходимо было понимать (из контекста полагалось очевидным, что речь идет о числе меньше единицы) следующим образуемом

Истинное значение указанной хорды составляет 0,7653669…, так что точность античных вычислений была выше любых возможных