Книд Евдокс помогал писать законы для своих сограждан; он пользовался у них огромным почетом.

Аполлодор Афинский (II – 1 до н. э.) утверждал, что Евдокс умер на 53-м году жизни. По мнению Фаворина Арелатского (ок. 81 – ок. 150), когда Евдокс был в Египте с Хонуфием Гелиопольским, священный бык Алис лизнул его плащ, и жрецы предсказали, что он станет знаменитым, но долго не проживет (утверждения Аполлодора и Фаворина приводятся в передаче Диогена).

Предсказание египетских жрецов подтвердилось не слишком точно в связи с возрастом (для того времени прожить 52 года было не так плохо) и полностью сбылось в том, что касается славы. Евдокса считали величайшим математиком и астрономом своего времени, и его непременно упоминают даже в самом кратком очерке истории науки. Платон известен более широкой аудитории, но с точки зрения науки эпоху Платона лучше было бы называть эпохой Евдокса.

Его заслуженная математическая слава покоится на трех основаниях – общей теории отношений, золотом сечении и методе исчерпывания. На таком тройном основании Евдокс заслуживает того, чтобы его называли одним из величайших математиков всех времен.

Необходимость в новой общей теории отношений возникла благодаря революционному открытию иррациональных чисел, сделанному Феодором Киренским и Теэтетом Афинским. Пифагорейцы усматривали параллели между числами и прямыми (например, треугольные или квадратные числа и теорема Пифагора). Отношение между двумя отрезками можно представить отношением между двумя целыми числами m и n, и наоборот, m/n может быть представлено отношением двух отрезков длиной m и n. Однако недавно открытые иррациональные отрезки или числа (диагональ квадрата – иррациональный отрезок, диагональ квадрата со стороной, равной 1, представляет иррациональное число, √2). Иррациональные числа – не целые числа; их невозможно представить отношением целых чисел. Структура пифагорейской математики, таким образом, разрушалась. Выхода было только два: либо отрицать параллель между геометрией и арифметикой, либо признать новый вид числа: иррациональное число. Второй путь был сложнее, чем может себе представить не-математик, поскольку подразумевал не только определение таких чисел и доказательство их существования, но и доказательство того, что с ними можно обращаться как с прочими числами, и признание законной силы геометрических демонстраций, которые включали или могли включать в себя иррациональные элементы. Иными словами, необходимо было расширить идею числа так, чтобы включить в нее иррациональные числа, и расширить идею длины так, чтобы теоремы, касающиеся прямых, по-прежнему были бы верными, если некоторые прямые иррациональны. Такое расширение было выполнено Евдоксом в его общей теории отношений, которая получила дальнейшее развитие в V и VI книгах Евклидовых «Начал». Невозможно точно установить, что именно было сделано Теэтетом и что – Евдоксом, но традиционно считается, что вклад последнего стал решающим.

Рис. 79

Что такое золотое сечение? По мнению Прокла, теоремы, связанные с «тем сечением», начались с Платона, а Теэтет приложил к ним метод анализа. Скорее всего, эти теоремы были открыты Теэтетом или другими, а Платон приложил их к своим фантазиям. Любопытное использование определенного артикля применительно к «тому сечению» (hē tomē) должно было почти наверняка относиться к исключительному сечению, делению отрезка в крайнем и среднем отношении, которое напрашивается при построении пятиугольника и додекаэдра. В более позднее время Лука Пачоли (1509) назвал это сечение «божественным». Золотым его назвали еще позже. Термин «золотое сечение» пользовался огромным успехом; многие художники и мистики носились с мыслью о том, что именно это сечение – одна из тайн красоты.

Дабы освежить память читателя, приведем задачу, как ее формулирует Евклид (книга II, предложение 11): «Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке». Или, выражаясь алгебраическими терминами, дана прямая а, которую необходимо разделить на два отрезка, х и а – х, так, чтобы

а/х = х/(а — х).

Решение достаточно простое (рис. 79). Если отрезок АВ равен а, восставим перпендикуляр от В, равный а, и сделаем его диаметром окружности С. Проведем отрезок АС, который пересекает окружность в точке D. Окружность радиуса AD пересекает прямую в точке Е и делит отрезок АВ в крайнем и среднем отношении. Доказательство настолько простое, что мы не будем его приводить.

Вклад Евдокса в теорию золотого сечения способствовал его популярности, но самыми выдающимися его математическими

достижениями стали общая теория отношений и метод исчерпывания.

Метод исчерпывания опирается на бесконечно малые понятия; он был основан на строгом понятии предела. Изобретя свой метод, Евдокс стал одним из предтеч интегрального исчисления. Интегрирование простых площадей делалось и до него. Несомненно, до него были получены такие результаты, как отношение кругов друг к другу, подобное отношению квадратов с такими же диаметрами. Более того, Гиппократ утверждал, что доказал эту теорему. Как он это сделал?

Доказательство Евклида основано на методе исчерпывания, изобретенном Евдоксом; поэтому можно предположить, что на самом деле перед нами доказательство Евдокса.

1) Впишем в круги A и B правильные многоугольники площадью A′ и B′, которые имеют столько сторон, что разность A – A′ и B – B′ произвольно мала.

2) Требуется доказать, что a2/b2 = A/B.

Допустим, что это не так и что

a2/b2 = A/C.

Может ли C быть меньше B?

Сократим разность B – B′ так, чтобы

B – B′ < B – C, или B′ > C.

Равенства

a2/b2 = A/C = A′/B′

противоречат друг другу, так как

A > A′, C < B′.

Так же можно доказать, что С не может быть больше В. Если С не может быть ни меньше, ни больше, чем В, значит, C = B и теорема доказана.

Решение можно было обобщить, но античным ученым это не удалось. Метод исчерпывания был строгим, но частным; необходимо было в каждом случае приводить отдельное доказательство. С помощью своего метода Евдокс сумел доказать формулы, связанные с объемами пирамиды и конуса, открытые Демокритом.

К середине IV в., главным образом благодаря усилиям Теэтета и Евдокса, геометрия поднялась на гораздо более высокий уровень и приблизилась к евклидовой. Стадия интуитивных открытий миновала, и математиков, получивших хорошую логическую подготовку, больше не устраивали частные результаты; им требовалась строгость. Каков вклад Платона в этом отношении? Трудно сказать. Возможно, он настаивал на ясности и логичности формулировок, но главные, чисто математические, достижения принадлежали не ему. Возможно, он помог математикам; они могли без него обойтись, а он без них обойтись не мог.

Астрономия

Эпоха Платона характеризуется такими же блестящими открытиями в астрономии, как и в