Идея совершенно понятна в области математики. Возможно, именно исходя из своей концепции он отважился распространить свои Идеи на всю Вселенную. Если определить окружность как замкнутую плоскую кривую, каждая точка которой равноудалена от центра, мы создадим Идею, идеальную или первичную окружность, которую не может превзойти ни одна нарисованная окружность. То же относится ко всем математическим понятиям; можно определить касательную, но невозможно даже при помощи самых совершенных инструментов провести линию и окружность, имеющие лишь одну общую точку. Идеальная окружность вполне логична – в отличие, например, от идеальной лошади. И все же, по мнению Аристотеля, Платон ставил математические понятия ниже чистых идей и считал их промежуточными между идеями и осязаемыми вещами, потому что идея треугольника одна, в то время как «идеальных треугольников» много. Такой довод кажется притянутым за уши. Несмотря на явную уловку, можно смело предположить, что платоновская теория идей имела математическое происхождение, и принять ее формулировку как одно из многих доказательств неумеренной и иррациональной математизации Платоном всего.

Рис. 77. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых

Вклад Платона в математику главным образом философского свойства; он улучшил определения и усовершенствовал их логическую взаимосвязь. Точный масштаб его вклада и его оригинальность определить невозможно. В Академии придавали большое значение математическим дискуссиям. Главным результатом стало повышение математической точности, что невозможно приписать одному учителю или любому другому преподавателю Академии; до некоторой степени достижение было коллективным.

Изобрел ли Платон геометрический анализ? Весьма вероятно, что изобретение было сделано Гиппократом Хиосским (см. выше). Однако Платон вполне мог его усовершенствовать или понятнее растолковал его (чему определенно способствовали дискуссии в классе). Возможно также, он первым понял, что анализ необходимо дополнять синтезом.

Пример анализа. Требуется доказать, что А — это В. Допустим, что А — это В, тогда В — это С, С – это D, D – это Е; следовательно, А — это Е. Если это неверно, значит, теорема опровергнута путем сведения к абсурду.

Но если А — это Е, теорема еще не доказана, и анализ необходимо дополнить обратным процессом, называемым синтезом.

Синтез. Если А — это Е, Е — это D, D – это С, С – это В; следовательно, А — это В.

Возможно также, что Платон стал изобретателем (или разработчиком) проблемного анализа.

Требуется найти геометрическое место всех точек, расположенных на равном расстоянии от двух пересекающихся прямых. Проведем две прямые, АВ и CD, которые пересекаются в точке О (рис. 77), и допустим, что мы нашли одну точку М, расположенную на равном расстоянии от обеих прямых. Следовательно, если мы проведем перпендикуляры от М к обеим прямым, отрезки MN и МР равны. Проведем отрезок ОМ и сравним треугольники OMN и ОМР', эти треугольники равны; следовательно, углы NOM и МОР равны. Следовательно, ОМ — биссектриса острого угла. Сходный результат будет получен, если взять точку М’ тупого угла.

Рис. 78. Проведение касательной к окружности из точки

Следующий шаг – создание геометрического места всех точек, то есть проведение двух биссектрис.

Последний шаг – синтез, который состоит в доказательстве (1), что любая точка биссектрисы находится на равном расстоянии от обеих прямых и (2) что любая другая точка не находится на равном расстоянии от обеих прямых.

Или требуется провести касательную от точки А к окружности С (окружность и точка лежат в одной плоскости, рис. 78). Допустим, что касательная – АТ, тогда радиус СТ — кратчайшее расстояние от С к АТ и угол А ТС – прямой. Геометрическое место вершин прямых углов, противолежащих АС, – окружность, которой АС является диаметром. Построим эту окружность. Она пересекает окружность С в двух точках, Т и Т’, поэтому можно провести две касательные, АТ и АТ’. Синтез: теперь мы должны доказать, что АТ и АТ’ – в самом деле касательные и других нет.

Изобрел ли Платон эти методы? Или их изобрели его ученики, с ним или без него, в Академии или вне ее? Ответить невозможно, но вполне похоже на правду, что строгие формулировки принадлежат Платону или Академии.

Выше уже говорилось, что математические закономерности, которые пифагорейцы обнаружили в музыкальных интервалах, произвели на Платона глубокое впечатление. Итак, математика связана, с одной стороны, с музыкой, а с другой стороны – с астрономией.

Можно ли не сделать вывод, что в астрономии есть музыка? Столь опьяняющая мысль привела Платона к его концепции небесной гармонии, или гармонии мировой души.

Читатель знаком со средневековой концепцией семи свободных искусств, которую обычно приписывают Боэцию (VI – 1). Однако ее следы можно найти уже у Аврелия Августина (V – 1). На самом деле сама концепция гораздо древнее (во всяком случае, относительно квадривиума). Свободные искусства составляли (и по сей день составляют) своего рода основу общего образования. С течением времени их количество и содержание менялись. По наиболее знакомому для нас средневековому сочетанию семь свободных искусств делятся на две группы, тривиум (грамматика, логика, риторика) и квадривиум (арифметика, геометрия, музыка, астрономия). Значит, второй, или высший, уровень общего образования носил всецело математический характер. (Мы называем квадривиум высшим уровнем общего образования; в Средние века общее образование было введением к профессиональным знаниям, например к занятиям медициной или правом, или к высшей ступени обучения философии и теологии.) Саму идею часто приписывали Платону, но правильнее назвать ее пифагорейской, хотя мы не можем проследить ее развитие дальше Платона. Платон придумал своего рода математический квадривиум, куда, как ни странно, не входила музыка. Квадривиум включал арифметику, геометрию, стереометрию, астрономию; разграничение планиметрии и стереометрии выдает незрелость тогдашней математики. Более привычный состав квадривиума (с музыкой, но без стереометрии) был вкратце изложен Архитом (см. ниже), но затем исчез; он вновь появился лишь в первом тысячелетии н. э., в сочинении Pinax псевдо-Кебета и у Сенеки (1–2), затем у Секста Эмпирика (II – 2) и Порфирия (III – 2), позже у Аврелия Августина (V – 1), Марциана Капеллы (V – 2), Боэция (VI – 1), Кассиодора (VI – 1), Исидора Севильского (VII – 1) и других. Платон не учреждал средневекового квадривиума, но именно он задумал высшую ступень общего образования математической.

Иногда Платону приписывали открытие геометрических тел правильной формы. Что это значит? Разумеется, правильные многогранники были известны и до него; простейшие из них знали с незапамятных времен. Гиппас из Метапонта и другие пифагорейцы, которые любили играть с пентаграммами и пятиугольниками, хорошо знали додекаэдр (двенадцатигранник). Таким образом, можно предположить, что пифагорейцам были