пяти, т. е. соответствует огню. А икосаэдр занимает наибольший объем при заданной площади поверхности, стало быть, он самый мокрый и должен быть водой. Кеплер видел связь между двенадцатью гранями додекаэдра и двенадцатью знаками Зодиака, поэтому он утверждал, что додекаэдр является образом Вселенной. Соответствие между элементами и платоновыми телами можно наблюдать на знаменитой иллюстрации Кеплера, воспроизведенной на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Рисунки платоновых тел, выполненные Кеплером (из «Гармонии мира»)

В «Гармонии мира» мы снова видим раздвоение между склонностью Кеплера к мистике и его блестящим научным мышлением. В этой работе он высказывает ошибочные утверждения относительно атомистической теории, но также делает важное наблюдение о платоновых телах. Он обратил внимание на антисимметричную связь между октаэдром и кубом и между додекаэдром и икосаэдром, а также на автосимметрию тетраэдра. Из табл. 6.1 мы видим, что у куба и октаэдра по 12 ребер. Количество граней куба (6) равно количеству вершин октаэдра, а количество вершин куба (8) равно количеству граней октаэдра. Такое же зеркальное соотношение существует между додекаэдром и икосаэдром: у обоих по 30 ребер, у икосаэдра 20 граней, а у додекаэдра 20 вершин, у икосаэдра 12 вершин, а у додекаэдра 12 граней. Для тетраэдра нет парного правильного многогранника, но зато у него столько же граней, сколько вершин, поэтому он образует пару с самим собой.

Кеплер предложил физическую интерпретацию этой антисимметрии. Возьмем какой-нибудь правильный многогранник, например куб. Поместим новую вершину в центр каждой грани. Эти восемь точек образуют вершины октаэдра. Полученный многогранник называется двойственным исходному. На рис. 6.8 мы видим иллюстрацию Кеплера, показывающую, что октаэдр двойствен кубу. Заметим, что каждая грань куба соответствует вершине октаэдра, поэтому число граней куба равно числу вершин октаэдра. Присмотревшись более внимательно, мы увидим, что каждому ребру октаэдра можно сопоставить перпендикулярное ему ребро куба, поэтому оба многогранника имеют одинаковое число ребер. Кроме того, каждой вершине куба соответствует грань октаэдра, поэтому число тех и других одинаково. Таким способом мы устанавливаем зеркальную связь, показанную в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Количество вершин, ребер и граней платоновых тел

Кеплер также показал, что икосаэдр двойствен додекаэдру, а тетраэдр — самому себе (см. рис. 6.8). Хотя Кеплер знал, что двойственность — взаимное отношение (куб можно вписать в октаэдр, а додекаэдр в икосаэдр), он не показал этого. Это не укладывалось в иерархию. Поскольку он верил, что отношение «включает» более совершенно, чем «быть включенным», то показал только, что первичные тела включают вторичные.

Рис. 6.8. Изображение двойственного многогранника, выполненное Кеплером (из «Гармонии мира»)

Верный своей манере, Кеплер не мог не поделиться собственной оригинальной интерпретацией этого математического наблюдения. Он приписал телам пол и воспользовался двойственностью для указания на половую совместимость. Куб и додекаэдр (оба доминирующие первичные тела) были мужского пола и включали женские октаэдр и икосаэдр (вторичные тела). Тетраэдр был гермафродитом, поскольку включал сам себя. Грани и вершины были половыми характеристиками, потому что именно в этих местах тела соприкасались. Кеплер писал:

Однако существует два достойных упоминания, так сказать, брака, получаемых сочетанием фигур, взятых из каждого класса: мужчин, куба и додекаэдра, из класса первичных тел, с женщинами, октаэдром и икосаэдром, из класса вторичных тел. Помимо них, существует фигура, символизирующая целибат, или гермафродита, — тетраэдр, поскольку он вписан сам в себя, подобно тому, как женские фигуры вписаны и, так сказать, подчинены мужским, а признаки их женского пола расположены напротив признаков мужского пола, иными словами, углы противостоят плоским граням54.

Производители игрушек творчески воспользовались свойствами правильных и неправильных многогранников и выпустили многочисленные разновидности экзотических игральных костей. Один такой изобретательный фабрикант даже воспользовался двойственностью правильных многогранников и сделал симметричную круглую кость! На поверхности сферы нарисованы очки, как на кубе (см. рис. 6.9). Во внутренней полости размещен двойственный кубу октаэдр. Тяжелый шарик перекатывается внутри октаэдра, пока не остановится в одной из его вершин. Благодаря весу шарика одна из «граней» кости после остановки оказывается сверху.

Рис. 6.9. Круглая игральная кость

Можно обобщить определение двойственности на неправильные многогранники, хотя определение оказывается более сложным. Тема двойственности постоянно возникает в математике. Мы часто создаем двойственные пары, поменяв местами какую-то ключевую величину. В случае многогранников обращается размерность: нульмерные вершины заменяются двумерными гранями, а двумерные грани — нульмерными вершинами. В других случаях местами меняются верх и низ, положительное и отрицательное и т. д. Иногда объект, больше всего похожий на данный, оказывается его точной противоположностью. Мы вернемся к понятию двойственности в главе 23.

К XVII веку математика стала в Европе академической дисциплиной. Длительный бесплодный период подошел к концу. Многогранники, вновь введенные в обиход художниками, опять оказались предметом математических исследований. В главе 9 мы увидим, что приблизительно в 1630 году Декарт открыл важные свойства многогранников, но мир узнал об этом только в 1860 году. Первого за две тысячи лет заметного вклада в теорию многогранников пришлось ждать до следующего столетия, когда Эйлер сделал свое блистательное открытие.

Приложения к главе

46. Simmons (1992), 69.

47. Koestler (1963), 262.

48. Там же, 252.

49. Kepler (1596), английский перевод Kepler (1981).

50. Kepler (1596), quoted in Gingerich (1973).

51. Kepler (1981), 107.

52. Quoted in Martens (2000), 146.

53. Kepler (1938), английский перевод Kepler (1997).

54. Quoted in Emmer (1993).

Глава 7

Жемчужина Эйлера

«Очевидно» — самое опасное слово в математике.

— Э. Т. Белл55

14 ноября 1750 года газеты должны были бы поместить на первую полосу заголовки «Математик открывает ребро многогранника!».

В тот день Эйлер написал из Берлина письмо своему другу Христиану Гольдбаху, специалисту по теории чисел из Санкт-Петербурга. В предложении, где, на первый взгляд, не было никакой интересной математики, Эйлер описывал «сочленения, по которым соединяются две грани, которые, за неимением общепринятого термина, я буду называть “ребрами”»56. В действительности это не слишком содержательное определение было первым важным камнем, заложенным в основание того, что впоследствии стало величественной теорией.

Одним из блестящих дарований Эйлера была способность консолидировать изолированные математические результаты и выстраивать теоретическую конструкцию, в которой для всего было свое место. В 1750 году он вознамерился проделать это с многогранниками. Он приступил к тому, что, как он надеялся, станет исследованием оснований теории многогранников, или, как он называл ее, стереометрии.

К тому времени теории многогранников было уже с лишком