Рис. 7.6. Две компланарные грани уменьшают число граней и ребер на 1

Эти сложные на вид формулы описывают число граней и ребер после удаления одной вершины. Сама мысль о том, чтобы следить за этими числами после удаления нескольких вершин, приводит в ужас. Однако важное наблюдение, сделанное Эйлером, избавляет нас от этой необходимости. если взять разность между числом ребер и граней нового многогранника, то получим

(E — 3 + s — t) — (F — 2 + s — t) = E — F — 1.

Иными словами, разность между числом ребер и числом граней ровно на единицу меньше той, что была до удаления вершины. После удаления n вершин разность между числом ребер и числом граней будет равна E — F — n.

Теперь мы можем закончить доказательство Эйлера. Мы начали с многогранника, имеющего V вершин, E ребер и F граней. Предположим, что мы удаляем вершины по одной, всего n штук, пока не останется четыре вершины. Тогда V — n = 4, или n = V — 4. единственный многогранник с четырьмя вершинами — треугольная пирамида (у которой четыре грани и шесть ребер). Для треугольной пирамиды разность между числом ребер и числом граней равна 6–4 = 2, но из предыдущего обсуждения мы знаем, что она также равна E — F — n. Таким образом, имеем равенства

E — F — n = 2

и

n = V — 4.

Подставляя второе равенство в первое и изменяя порядок членов, получаем V — E + F = 2, что и требовалось доказать.

В самом начале мы сказали, что доказательство Эйлера не вполне строгое и что он упустил из виду некоторые тонкости. На самом деле мы видим, что Эйлер очень внимательно следил за числом граней и ребер при удалении вершины. Однако к процессу удаления вершин он отнесся легкомысленно и не дал детальных инструкций, как следует отрезать пирамиды. Вместо этого он обошелся несколькими расплывчатыми примерами. Эйлер правильно утверждал, что может существовать несколько способов удалить данную вершину путем отрезания пирамид, но не предупредил, что одни способы декомпозиции приемлемы, а других следует избегать. У читателя создается неверное впечатление, что все способы декомпозиции равнозначны. В действительности некоторые ведут к неприятностям.

Первая подстерегающая нас ловушка заключается в том, что в процессе декомпозиции мы можем случайно получить невыпуклый многогранник. Эйлер привел пример, в котором удаляемая вершина O соседствует с четырьмя вершинами A, B, C, D (см. рис. 7.7). Он писал:

Это можно сделать двумя способами… нужно отрезать две пирамиды: OABC и OACD или OABD и OBCD. И если точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, то получающиеся тела будут иметь разную форму65.

Рис. 7.7. Удаление вершины многогранника (слева) может привести как к выпуклому (в центре), так и к невыпуклому (справа) многограннику

Это правда, но если четыре соседние вершины не компланарны, то один из получающихся многогранников обязательно будет выпуклым, а другой — невыпуклым. Для многогранника на рис. 7.7 отрезание пирамид OABD и OBCD приводит к невыпуклому многограннику.

Эйлер ни разу не упомянул о выпуклости в своей статье. Он неявно предполагал, что все многогранники выпуклые. Если внимательно рассмотреть его алгоритм, то мы увидим, что важно, чтобы многогранник оставался выпуклым после отрезания вершины. Возникновение невыпуклого многогранника может привести к неприятности, потому что техника Эйлера неприменима к удалению вершины, находящейся в точке невыпуклости. Но и это еще не самое страшное.

Как указал математик Анри Лебег (1875–1941), мало того что результирующий многогранник может оказаться невыпуклым, он может вообще не быть многогранником66! На рис. 7.8 показана вершина, в которой сходятся четыре грани. Один из двух способов ее отрезания работает правильно, тогда как другой приводит к фигуре, которая является не многогранником, а объектом, состоящим из двух многогранников, соединенных по одному ребру. Хуже того, этот немногогранник не удовлетворяет формуле Эйлера (V = 6, E = 11, F = 8, так что V — E + F = 3, а не 2). Похоже, этот пример указывает на серьезный дефект в доказательстве Эйлера. На рис. 7.9 показано, что, применяя метод рассечения Эйлера, мы можем получить и другие вырожденные многогранники. Одна декомпозиция дает два многогранника, соединенных в вершине, другая — несвязный многогранник. И в обоих случаях формула Эйлера не выполняется.

Рис. 7.8. Метод Эйлера, примененный к многограннику слева, может дать вырожденный (в центре) или невырожденный (справа) многогранник

Но, как выясняется, доказательство Эйлера можно спасти. Нужно лишь действовать более аккуратно67. Во всех приведенных выше примерах доказательство портил неправильный выбор в процессе декомпозиции, но в каждом случае существовала приемлемая декомпозиция. Можно доказать, что, придерживаясь четкой стратегии, а не делая выбор произвольно, мы всегда сможем удалить вершину так, что результирующий объект гарантированно будет выпуклым многогранником, и тогда доказательство будет спасено. После этих исправлений мы наконец можем утверждать, что формула Эйлера имеет место для всех выпуклых многогранников.

Рис. 7.9. Другие проблемы, свойственные методу Эйлера

С тех пор как Эйлер представил свое доказательство, появилось много других, как правило, более простых. Некоторые из них мы рассмотрим далее в этой книге.

Тонкая проблема выпуклости стала настоящим вызовом для математиков. Последовало несколько десятилетий интересных исследований, поскольку математики хотели точно выяснить, какими свойствами должен обладать многогранник, чтобы для него удовлетворялась формула Эйлера. Мы увидим, что они рассматривали невыпуклые многогранники, многогранники с дырками и другие, еще более патологические примеры. Это направление исследований оказалось чрезвычайно плодотворным.

Много лет потребовалось математикам, чтобы понять важность того, что Эйлеру было очевидно, — что это теорема о размерности и правилах построения математических объектов. Формула Эйлера и ее обобщения стали краеугольным камнем топологии.

Вероятно, Эйлер в полной мере не осознавал важность своей теоремы. Он никогда не возвращался к проблеме классификации многогранников и ничего больше не писал о формуле для многогранников. Он так и не узнал, что это один из самых значительных его вкладов в математику.

Приложения к главе

55. Bell (1987), 16.

56. Juskevic and Winter (1965), 333.

57. Euler (1758b).

58. Legendre (1794).

59. Juskevic and Winter (1965), 333.

60. Там же, 334.

61. Euler (1758b).

62. Там же.

63. Euler (1758a), английский перевод Euler (1758c).

64. Legendre (1794).

65. Euler (1758a), английский перевод Euler (1758c).

66. Lebesgue (1924).

67. Francese and Richeson (2007); Samelson (1996).