Самыми точными науками Аристотель считал те, которые больше связаны с первыми принципами (основополагающими положениями или предположениями, стоящими особняком. Эти принципы невозможно вывести из других положений или предположений). На таком основании математика шла первой, причем арифметику он ставил впереди геометрии. Подобно Платону, Аристотель интересовался знанием ради самого знания, ради размышления об истине, а не ради ее применения. Более того, его больше интересовали общие принципы, чем частности, и определение общих случаев, чем множественность следствий.

Он проводил различие между аксиомами (общими для всех наук) и постулатами (имеющими отношение к каждой отдельной науке). Примерами аксиом или общих понятий являются «законы исключенного третьего» (то есть третьего не дано), законы, состоящие в том, что из двух высказываний «А» или «не А» одно обязательно является истинным; «законы противоречия», которые заключаются в том, что два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными, а также закон «если равные числа вычесть из равных, остатки будут равны». Определения необходимо понимать; они не обязательно утверждают существование или несуществование определяемого объекта. В арифметике необходимо предположить существование единицы или монады, а в геометрии – точек и линий. Существование более сложных вещей, таких, например, как треугольники или касательные, надо доказать, и лучшим доказательством является их построение.

Величайшая заслуга Аристотеля перед математикой заключается в его осторожном подходе к преемственности и бесконечности. Последнее понятие, замечает он, существует лишь потенциально, не в действительности. Его взгляды на такие основополагающие вопросы, развитые и проиллюстрированные Архимедом и Аполлонием, послужили основой вычислений, изобретенных в XVII в. Ферма, Дж. Валлисом, Лейбницем и двумя Исааками, Барроу и Ньютоном (в противоположность небрежному обращению Кеплера и Кавальери с бесконечно малыми величинами). Такое утверждение, которое невозможно изложить подробно в книге, не рассчитанной на математиков, – поистине очень высокая похвала, но мы обязаны его сделать, тем более что Платон более знаменит как математик, чем Аристотель, что крайне несправедливо. Аристотель был логичен, но скучен; Платон был более привлекателен, однако нелогичен до крайности. Аристотель и его современники заложили лучший фундамент для великолепных достижений Евклида, Архимеда и Аполлония, в то время как соблазнительный пример Платона поощрял все безумства арифмологии и гематрии и возбуждал иные суеверия. Аристотель был честным учителем, Платон – магом, Крысоловом; нет ничего удивительного в том, что последователей Платона больше, чем последователей Аристотеля. Но нам всегда следует с благодарностью вспоминать о том, что многие великие математики обязаны своим призванием Платону; они получили от него любовь к математике, но не следовали ему в другом, и их гениальность послужила их спасением.

Спевсипп Афинский

Оставим Аристотеля и Ликей и вернемся к Академии. Нам всегда следует помнить, что в то время в Афинах модно было изучать математику. Ее изучали в обеих школах, возможно, в духе дружеского соперничества. Большинство математических исследований, скорее всего, велось в Академии, где сколархами после Платона стали Спевсипп и Ксенократ. Прокл называет братьев Менехма и Динострата друзьями Платона и учениками Евдокса; Февдий из Магнесин написал учебник для Академии. С другой стороны, Евдема Родосского, которого называли учеником Аристотеля и Феофраста, лучше отнести к Ликею. На подобные вопросы невозможно ответить точно. Нам известны главы обеих школ (по крайней мере некоторые из них), однако списков студентов не существовало, и, возможно, посещение было неофициальным. Отдельные люди названы учениками Платона или Аристотеля, а не студентами Академии или Ликея.

Спевсипп, племянник Платона, в 348/347 г. стал преемником Платона на посту сколарха Академии. Судя по фрагментам, его утраченный труд «О пифагорейских числах» стал продолжением исследований Филолая; он занимался многоугольными числами и пятью правильными многогранниками.

Ксенократ Халкидонский

После смерти Спевсиппа устроили выборы нового сколарха; голоса разделились почти поровну в пользу Гераклида Понтийского и Ксенократа Халкидонского, но последний победил и пробыл сколархом Академии 25 лет (339–315). Интересно, что и Аристотель, и Гераклид, и Ксенократ были «северянами», и новый сколарх был старым другом Аристотеля (который многократно ссылается на него в своих работах). Поэтому можно предположить, что Ксенократ был так же хорошо знаком с математическими взглядами Аристотеля, как и с математическими взглядами Платона. Он продолжил политику Платона по исключению из Академии соискателей, которые не обладали геометрическими познаниями. Одному из них он сказал: «Ступай своей дорогой, ибо ты не обладаешь средствами для того, чтобы овладеть философией». Такая история вполне правдоподобна.

Ксенократ написал множество трактатов; к сожалению, все они утрачены. Однако, судя по названиям, процитированным Диогеном Лаэртским, речь в некоторых из них шла о числах и геометрии. Применение в геометрии принципа непрерывности, которое обострилось благодаря парадоксам Зенона, привело его к понятию неделимых линий. Ксенократ подсчитывал количество слогов, которое можно образовать с помощью букв алфавита (по мнению Плутарха, ответ был равен 1 002 000 000 000); это самая первая известная задача по комбинаторному анализу. К сожалению, помимо скудных обрывков информации, о его деятельности нам ничего не известно.

Менехм

Менехм и Динострат были братьями, о которых нам известно лишь то, что говорит о них Прокл в коротком абзаце комментария к первой книге «Начал» Евклида. По мнению Прокла, они «сделали геометрию более совершенной».

Неизвестно, где и когда родились братья, но жили они в Афинах, посещали Академию и учились у Платона, а позже у Евдокса. Можно заключить, что они жили примерно в середине IV в. до н. э.

Оба брата занимались созданием геометрического синтеза. Менехма особенно интересовала старая задача об удвоении куба. Эту задачу Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) свел к нахождению двух средних пропорциональных между двумя отрезками, один из которых в два раза длиннее другого. Выражаясь современным языком, можно сказать, что Гиппократ свел решение кубического уравнения к двум квадратным уравнениям. Как их можно решить? Менехм нашел два способа решения, найдя пересечение двух конусов – двух парабол в первом случае и параболы и гиперболы во втором.

Так в мировой литературе появились конические сечения; открытие этих кривых приписано Менехму. Способ их построения, выбранный им, сейчас кажется очень странным; он воображал, что плоскость разрезает правильный круговой конус, при этом плоскость всегда перпендикулярна образующей линии этого конуса. Три разных конуса (которые он, похоже, различал) были получены путем увеличения угла конуса; пока угол острый, сечение представляет собой эллипс; когда угол прямой, сечение представляет собой параболу; когда угол тупой, получаются две ветви гиперболы. О. Нейгебауэр предположил, что Менехма могло привести к открытию использование солнечных часов. Если Нейгебауэр прав (а его доводы кажутся мне очень правдоподобными), странно думать, что эти кривые астрономического происхождения были введены в теорию астрономии лишь спустя две тысячи лет. Менехм открыл их