и основой материального бытия. Их занимала мысль об универсальной единице длины, т. е. о таком едином отрезке, который в каждом другом отрезке укладывался бы целое число раз. Прежде всего они пришли к пониманию, что такого отрезка не существует. Это сейчас его отсутствие кажется очевидным, тогда же осознание сего факта было подлинным открытием. Но оставался вопрос, существует ли подобный отрезок-мера, не общий для всех отрезков сразу, а свой для каждых двух отрезков. Для ясности сформулируем проблему более развёрнуто. Представим себе два каких-то отрезка. Их общей мерой называется такой отрезок, который в каждом из них укладывается целое число раз. Скажем, если второй из наших двух отрезков составляет треть первого, то этот второй отрезок и будет общей мерой: действительно, в первом отрезке он укладывается 3 раза, а во втором – 1. Отрезок, составляющий одну шестую первого отрезка, будет укладываться в нём 6 раз, а во втором – 2 раза, так что он также будет их общей мерой. Легко предъявить пару отрезков, для которых их общая мера будет укладываться в первом отрезке 6 раз, а во втором – 5; другая общая мера тех же отрезков будет укладываться в первом из них 18, а в другом – 15 раз. Теперь спросим себя, для любых ли двух отрезков существует их общая мера. Ответ неочевиден. В школе Пифагора был получен следующий поразительный результат: если взять какой-либо квадрат, а в нём – его сторону и его диагональ, то окажется, что эта сторона и эта диагональ не имеют общей меры! Говорят, что диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы. А соизмеримыми как раз и называются такие два отрезка, которые имеют общую меру.

Сегодня трудно себе представить силу эмоционального потрясения, испытанного, по дошедшим до нас из глубины веков сведениям, пифагорейцами, когда они обнаружили, что отрезки могут быть несоизмеримы. Рассказывают, что в благодарственную жертву богам они принесли около сотни быков (и с тех пор, как выразился кто-то, скоты всегда ревут, когда открывается новая истина). А ещё говорят, что пифагорейцы поклялись никому не сообщать о своём открытии. (И вот вам современная аналогия: по распространённому мнению, в наши дни велено скрывать от публики свидетельства о летающих тарелках. Я относил это мнение к числу предрассудков – и ошибался: в марте 2007 г. было объявлено, что Франция рассекречивает собиравшиеся десятилетиями данные о неопознанных летающих объектах.) По одной из легенд, возможно, придуманной самими пифагорейцами в острастку другим нарушителям, нашёлся преступивший клятву и был убит.

Оценивая открытие несоизмеримых отрезков с современных позиций, по прошествии двух с половиной тысяч лет, можно усмотреть в нём два общекультурных аспекта. Первый заключается в том, что впервые было доказательно установлено отсутствие чего-то – в данном конкретном случае общей меры стороны и диагонали одного и того же квадрата. Произошёл один из самых принципиальных поворотов в интеллектуальном развитии человечества. В самом деле, доказать, что что-то существует, можно, предъявив это «что-то». Например, если бы гипотеза Ферма оказалась неверна, то для её опровержения достаточно было бы предъявить некоторый показатель степени и соответствующую ему тройку Ферма. Но как доказать, что чего-то нет? Если искомое «что-то» заведомо содержится в известной и ограниченной совокупности, то, вообще говоря, можно перебрать все элементы этой совокупности и убедиться, что ни один из них нам не подходит. Но что делать, если искать наше «что-то» надлежит в совокупности необозримой? А именно эта ситуация и имеет место при поиске общей меры, ведь искать её приходится в необозримой совокупности всех мыслимых отрезков. Остаётся единственный способ: доказывать отсутствие не путём непосредственного наблюдения, а путём логического рассуждения. Его и применили пифагорейцы.

Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали Пифагор и его ученики, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. До нас дошло чисто геометрическое и притом чрезвычайно изящное доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным, неизвестно[42]. Сейчас, как правило, принято сводить несоизмеримость диагонали и стороны к вопросу из теории чисел. А именно: используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2x² = y². (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения x и y дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а надо бы: этот пример демонстрирует и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа x и y, что 2x² = y². Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. Вот первая часть: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне x раз, а в диагонали – y раз; тогда по теореме Пифагора 2x² = y². А вот вторая часть: если найдутся такие целые числа x и y, что 2x² = y², то по обратной теореме Пифагора треугольник с длинами сторон x, x и y будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины x и диагональю длины y. Таким образом, великое пифагорейское открытие не только было значительным само по себе, но и проложило дорогу к пониманию и доказательству замечательного факта: уравнение может не иметь решений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решений (среди целых чисел, как в нашем примере, или среди действительных чисел, как уравнение x² = −1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2x² = y² настолько просто, что доступно школьнику младших классов[43]; боюсь, однако, в школах его не излагают.

Разговор о том, что в иных случаях решения не существует, мы продолжим в главах 5 и 6, а пока укажем второй общекультурный аспект открытия явления несоизмеримости: оно привело, хотя и не сразу, к понятию действительного числа, лежащему в основе не только математики, но и всего современного естествознания и современной техники.

Глава 4

Длины и числа

Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, т. е. квадрата со стороной, длина которой единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким образом, возникает дилемма: или признать, что существуют