Дедекинда и Мерэ – Кантора. Отметим лишь, что строительным материалом для математического понятия действительного числа служат рациональные числа, каковые, в свою очередь, строятся на основе целых чисел. Это обстоятельство дало возможность выдающемуся немецкому математику Леопольду Крóнекеру (1823–1891) произнести в 1886 г. знаменитую фразу «Бог создал целые числа, всё остальное есть дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»). Возможно, более точным переводом немецкого слова ganzen было бы здесь русское слово «натуральные», потому что не вызывает сомнений: Кронекер имел в виду не все целые, а именно натуральные числа (из которых уже путём сознательной человеческой деятельности строятся отрицательные целые числа). Согласие с божественным происхождением натуральных чисел ещё не означает торжества креационизма. Ибо ничто не мешает считать, что натуральные числа появились в процессе исторической эволюции, оставляя при этом в стороне вопрос, управляется ли эволюция Господом Богом или происходит сама по себе. Став на эту точку зрения, приходим к выводу, что натуральные числа родились в процессе пересчитывания предметов, а также (и, надо полагать, позже) определения количества предметов. Это разные процессы, и они с философской точки зрения приводят к различным (хотя и соотнесённым друг с другом) системам натуральных чисел. Не знаю, как другие языки, но русский демонстрирует это различие достаточно наглядно. Пересчёт мы начинаем обычно со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее количественное число есть ноль, а наименьшее считательное число есть раз (один, единица)[44]. Некоторые поэтому начинают натуральный ряд, т. е. ряд натуральных чисел, с ноля, другие же – с единицы.

Упоминавшийся уже Дедекинд называл числа свободными творениями человеческого духа [а книга Дедекинда, в которой была провозглашена эта формула, сама имела примечательное название – «Что такое числа и каково их назначение» (Was sind und was sollen die Zahlen)]. Для понимания сущности чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже, скажем, число два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стола или двух слонов, а услышать или прочитать можно слово «два», но это совсем другое дело. Полезно отметить, что абстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как «электрон», «протон» и т. п., весьма абстрактны. На память приходит вопрос, заданный на знаменитом семинаре Гельфанда (который работал на механико-математическом факультете Московского университета) одним из участников: «Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?»

Вернёмся, однако, к проблемам, не имеющим решения.

Глава 5

Квадратура круга

Выражение «квадратура круга» прочно вошло в язык в качестве красивого обозначения всякой не имеющей решения задачи. Это расширенное значение, метафора. В узком же, буквальном смысле квадратура круга есть некая пришедшая к нам из античности геометрическая задача на построение.

Не одно тысячелетие она оставалась костью в горле математики: ни решить, ни доказать, что это невозможно. Тем не менее мысль о невозможности решения всё крепла и крепла, пока в XVIII в. не превратилась в убеждение настолько твёрдое, что академии наук разных стран заявили: трактаты, претендующие на разрешение коварной проблемы, более к рассмотрению не принимаются. Наконец, на исходе XIX в. вопрос был закрыт: развитие математики позволило доказать, что решения и в самом деле не существует. Понимание того, в чём состоят задачи на построение, и в частности древняя задача о квадратуре круга, входит, на наш взгляд, в общекультурный минимум. Чтобы читатель мог рассудить, верен или нет этот тезис, приведём кое-какие необходимые сведения.

Геометрия требует чертежа, и античные математики делали чертежи. Самым удобным и дешёвым способом было чертить на песке. Архимед, величайший учёный древности (да и не только древности!), был убит римским воином в 212 г. до н. э., во время Второй пунической войны, на Сицилии, в своих родных Сиракузах. По преданию, воин застал учёного на песчаном пляже и, взбешённый его словами «Не трогай мои чертежи!», зарубил мечом. Основными элементами чертежей служили прямые линии и окружности. Для их вычерчивания имелись специальные инструменты. Таких инструментов было два: линейка, позволяющая проводить прямые, и циркуль, позволяющий проводить окружности. Под термином «циркуль» условимся понимать любое устройство, пригодное для данной цели. Скорее всего, древнейший циркуль состоял из двух палок, соединённых верёвкой; одну палку («иглу») втыкали в песок в центре намеченной окружности, верёвка натягивалась, и второй палкой («писалом», «чертилом», «стилóм») чертили окружность с радиусом, равным длине верёвки. Задача на построение состояла в том, чтобы построить, т. е. начертить, геометрическую фигуру с требуемыми свойствами. Вот простейший пример такой задачи: для заданного отрезка найти его середину. Решение: для каждого из концов отрезка проводим окружность с центром в этом конце и с радиусом, равным длине отрезка; далее проводим прямую через те две точки, в которых наши окружности пересеклись; эта прямая пересечёт заданный отрезок в его середине.

Формулировка задачи о квадратуре круга такова: для заданного круга построить квадрат, равновеликий (т. е. равный по площади) этому кругу. То, что эта задача не имеет решения, доказал в 1882 г. немецкий математик Фердинанд Линдеман, о котором мы рассказывали в главе 2. Говорят, Линдеман завершил доказательство 12 апреля, в день своего тридцатилетия, и на вопрос друзей, отчего это он сияет так, словно решил проблему квадратуры круга, отвечал, что они попали в точку.

Прочитав две предыдущие фразы, читатель вправе возмутиться. Ведь в первой фразе говорится, что задача не имеет решения, а во второй – что Линдеман её решил. Дело в том, что в строгом, узком смысле решить задачу – значит найти её решение, а в более широком – найти решение или доказать, что его не существует. Таким образом, если удалось доказать, что задача не может быть решена, в математике она признаётся решённой. Подобные странности восторга не вызывают, но и больших трудностей не создают, поскольку из контекста обычно ясно, о чём идёт речь.

Мы, разумеется, не собираемся здесь доказывать нерешимость задачи о квадратуре круга. Можно было бы попытаться в доступных широкому читателю терминах наметить общее направление доказательства, но мы и этого делать не будем, потому что это вывело бы нас за пределы того, что мы считаем общекультурным математическим минимумом. А вот самоё формулировку обсудим. Казалось бы, что тут обсуждать, формулировка достаточно ясная? Сейчас мы увидим, что на самом деле её смысл нуждается в разъяснениях. Приносим извинения тем, кто почтёт эти разъяснения занудными и излишними. И надеемся встретить иного читателя, который найдёт здесь пищу для размышлений и оценит то обстоятельство, что именно математика такую пищу поставляет.