втором подбрасывании появится голова, $4, если потребуется три подбрасывания - и так далее. Сколько бы вы заплатили за игру?

Простая арифметика показывает, что ожидаемая стоимость этой игры равна сумме: приз, если при первом броске выпадет голова, умноженный на вероятность этого (1 × ½ = 0,5); плюс приз, если голова выпадет при втором броске (2 × ¼ = 0,5); и так далее. Приз растет с той же скоростью, с какой падает вероятность его получения, поэтому ответ на каждую подобную сумму равен 0,5. Число таких вычислений бесконечно велико, а значит, и ожидаемая ценность вашего выигрыша тоже. Расчет ожидаемой ценности включает в себя небольшую вероятность выигрыша абсурдно больших сумм: тридцать один жребий сделает вас миллиардером, сорока самым богатым человеком в мире - и потенциальный выигрыш будет расти с этого момента. Но существует 50% вероятность того, что в итоге вы получите только $1, и 75% вероятность того, что вы получите $2 или меньше. Тем не менее, если ваша единственная цель - максимизировать стоимость ожидаемого выигрыша, вы "должны" быть готовы заплатить практически любую сумму за возможность сыграть в эту игру. Но в действительности никто не заплатит больше, чем небольшую сумму. Привлекательность отдаленной перспективы астрономического богатства значительно перевешивается почти полной уверенностью в проигрыше. Ни один разумный человек, по нашему мнению, не согласился бы обменять все свои ресурсы или вообще очень многое на такую азартную игру.

В общем, чем больше у вас чего-то, будь то деньги, еда или просмотр любимого фильма, тем меньше удовольствия вы получаете от дополнительной единицы. Мало кто может себе представить, что Джефф Безос в сто раз счастливее обычного миллиардера или получает в сто тысяч раз больше удовольствия, чем обычный долларовый миллионер. Если полезность растет менее быстро, чем богатство - зависимость нелинейная - то выигрыши будут цениться меньше, чем потери аналогичной денежной суммы. Бернулли разрешил петербургский парадокс следующим образом: азартная игра имеет смысл тогда и только тогда, когда она максимизирует ожидаемую полезность, а не ожидаемое богатство. Таким образом, принятие решений с использованием вероятностных рассуждений стало приравниваться к максимизации ожидаемой полезности. Паскаль в своем пари о существовании Бога предвосхитил идею принятия решения об игре, умножив выигрыш или проигрыш, измеряемый в терминах счастья, а не денег, на вероятность того, что этот выигрыш или проигрыш произойдет.

При светском выборе разница между ожидаемой ценностью и ожидаемой полезностью может зависеть от того, насколько вы состоятельны. Вы можете не принять пари с равными шансами получить 200 долларов или потерять 100 долларов, если вы не можете позволить себе потерять 100 долларов. Богатый человек может с радостью принять пари, но бедный не станет делать ставку, если потенциальный проигрыш означает, что его семья будет голодать. Состоятельный герцог считал выигрыш в азартных играх сущим пустяком, и для него разница между этими двумя понятиями была невелика. Но, возможно, обедневший маркиз, внесший в банк 50 луидоров, не мог позволить себе уйти домой с пустыми руками.

Некоторые люди жадные, другие менее жадные. Счастье святого Франциска было полным, если у него было достаточно одежды, чтобы скрыть свою наготу, и корка хлеба, чтобы есть. Дополнительное счастье, которое он получал от увеличения своих мирских благ, быстро уменьшалось. Но для жадного банкира, который находит удовлетворение только в размере своего банковского баланса, ожидаемое богатство и ожидаемая полезность - одно и то же. Разница между ожидаемой полезностью и ожидаемой финансовой выгодой от пари описывается как мера неприятия риска - чем больше неприятие риска, тем неохотнее азартный игрок будет принимать пари.

Однако даже в малых мирах модель субъективной максимизации ожидаемой полезности, по-видимому, является плохим проводником того, как мы себя ведем. В экспериментах по поведенческой экономике испытуемых - в основном американских студентов - побуждают войти в искусственно созданные малые миры с помощью денежных выплат или для того, чтобы угодить своим профессорам. И они нарушают правила субъективной ожидаемой полезности. Многократно и настойчиво.

 

Байесовский циферблат в учебном классе

В 2016 году Майкл Вудфорд и его коллеги из Колумбийского университета опубликовали результаты упражнения, призванного определить, как студенты реагируют на новую информацию. Студенты делали случайные выборки из коробки, содержащей зеленые и красные кольца. Пропорция зеленых и красных колец в коробке менялась с течением времени. Участникам эксперимента сказали, что время от времени будет меняться базовая вероятность того, что они вытянут зеленое, а не красное кольцо. Их попросили оценить вероятность того, что следующее кольцо будет зеленым, и сообщить о своей оценке по рисунку, используя мышь для регулировки ползунка на экране компьютера. Самым важным результатом эксперимента стало, пожалуй, необычайное терпение участников эксперимента, проявленное студентами при выполнении бессмысленного задания в течение длительного времени за мизерное вознаграждение. Но студенты не оправдали ожиданий Вудфорда. Ползунок должен был, по мнению Вудфорда, двигаться вперед-назад при каждом перетягивании кольца, в соответствии с каждым движением циферблата Байеса. Но этого не произошло. Наши испытуемые систематически отклоняются от оптимального байесовского эталона... но [они] обычно оставляют свою переменную решения неизменной в течение определенного периода времени, несмотря на получение множества новых порций информации за это время. Мы пришли к выводу, что их неудачи ... отражают несовершенство внимания, ограниченность памяти или связанные с этим когнитивные ограничения". Вудфорд просто предположил, что идеальным эталоном является байесовское решение, а вспомогательная гипотеза о человеческой несостоятельности (описанной Вудфордом как "рациональная невнимательность", неудаче, которой мы легко сочувствуем) была необходима для согласования модели с экспериментальными результатами.

Философ Энтони Аппиа ввел термин "когнитивные ангелы" для описания идеальных агентов, которые могут правильно максимизировать ожидаемую полезность, и противопоставил их реальным людям, у которых уходит время на вычисления и которые допускают ошибки в процессе. Ричард Талер, лауреат Нобелевской премии по экономике 2017 года, аналогичным образом различает "эконов" и "людей". Мы не считаем стремление к максимизации ожидаемой полезности - в мире радикальной неопределенности - характерным для ангела. Маловероятно, что студенты Колумбийского университета были ангелами в каком-либо смысле этого слова; они были людьми. Они изучали байесовские рассуждения в классе, но не применяли их в своей жизни, потому что они редко оказывались полезными - при планировании своей жизни и карьеры они просто не имели информации, необходимой для расчета ожидаемой полезности. Вудфорд не мог указать на плохие решения, принятые его "рационально невнимательными" студентами; он мог только критиковать их метод рассуждения. Они должны были, по его мнению, руководствоваться байесовским циферблатом.

 

Байесовский циферблат в Овальном кабинете

И вот мы можем представить себе президента Обаму, сидящего