Часто говорят, что за аксиомы берутся самоочевидные истины. Нельзя сказать, чтобы уж очень очевидные. В геометрии пятый постулат Евклида о параллельности прямых пробовали уничтожить, то есть вывести из остальных аксиом в течение двух тысячелетий, пока, наконец, не поняли, что доказать его нельзя, но можно либо включать, либо не включать в систему аксиом, и это приводит к разным геометриям.

Что взять за первоосновы – серьёзный вопрос не только в математике. Если взять «по ходу дела» какой-либо набор постулатов и дальше рассуждать логически, то можно прийти к чему угодно. Приняв в качестве аксиом несколько нереальных предположений и считая, что они выполняются в реальном мире, можно изучать следствия, ценность которых в значительной мере зависит от качества первоначальных предположений. По такому принципу строятся научно-фантастические романы, и не только они.

Аристотель, известный своей въедливостью, приступая к одному из своих трактатов («О душе»), писал, что прежде всего необходимо разобраться, с чего начинать. «Надо подумать, из чего исходить: ведь для разного начала различны, например, они разные для чисел и плоскостей». Как видим, Аристотель знал, что аксиоматика для арифметики и геометрии разная. Поиск единой аксиоматики для всей человеческой деятельности является, если угодно, одной из задач философии.

Аналогом аксиом для описания структуры мира для греков служили совершенные геометрические объекты. Вслед за Платоном и другими греческими философами Евклид рассматривает выпуклые многогранники, построенные из правильных многоугольников. В греческой теории они играют роль своеобразных атомов. Размеры рёбер таких атомов считались минимально возможными, а значит, равными. Евклид привёл математическое доказательство, что совершенных тел может быть только пять.

Есть у Евклида и две идеальные линии – прямая и окружность. С их помощью греческие математики пытались выполнить все возможные геометрические построения. В современных учебниках такой метод имеет более приземлённое название – геометрическое построение с помощью циркуля и линейки.

У Евклида приведены и формулировки нерешённых проблем: удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга, так сказать, на будущее, чтобы математикам было чем заниматься до середины XIX века. Именно тогда окончательно разобрались с нерешёнными задачами Евклида.

Было время, когда вся эта богатейшая информация исчезла. Европа забыла греческий язык раньше, чем затих водоворот варварских нашествий. Позднее завоёванные арабами территории окончательно отрезали Европу от старых культурных центров.

Епископ Исидор Севильский (570–638) считается первым по времени средневековым энциклопедистом. Главный труд севильского философа «Этимология» является энциклопедий знаний на начало VII века. Исидор Севильский знакомит своих читателей с историей, географией, теологией, грамматикой и многими другими предметами. Его изложение математики вызывает досаду. Куда всё подевалось? Развитие математики не просто остановилось: бесследно пропала большая часть накопленных знаний.

Частично за исчезновение математических работ несут ответственность первые христианские философы, отрицательно относившиеся к рациональным рассуждениям. Латинские отцы церкви с уважением писали о Платоне, Аристотеле, Вергилии. Даже Гомера с его Троянской войной, через Вергилия, связывали с историей человечества. Евклид к христианским идеям не имел никакого отношения, а потому был неинтересен.

Цитата из «Книги премудростей Соломона», приведённая в качестве эпиграфа, является единственным упоминанием о математике в Библии. Позднее, когда вернулся интерес к математике, эту фразу и приводили в качестве оправдания занятиями воскресшей наукой.

Труды греков по астрономии, математике и медицине возвратились в Европу через арабов. Передачу математических знаний и дальнейшее их развитие можно проследить по пути, проделанному манускриптами работ Евклида.

В связи с угрозой нашествия варваров часть манускриптов из Рима и Александрии была перевезёна в Византию. Самая старая из сохранившихся копий «Элементов» Евклида – византийского происхождения. Через Византию работы Евклида попали к арабам. Арабскую империю VII–VIII веков называют плавильным котлом цивилизаций. Мусульманские учёные освоили греческую и сирийскую медицину, персидские исторические сочинения, греческую философию и астрономию, а также замечательные математические работы индусов.

Одним из выдающихся учёных, работы которого оказали огромное влияние на арабскую и византийскую астрономию и математику, был индийский астроном VII века Брахмагупта. Его книга «Сидханта», или «Чистая теория Брахмы», датируется 628 годом и представляет собой астрономический трактат, в котором довольно большая часть посвящена математике. В нём изложены математика алгоритмов и математика уравнений, что приблизительно соответствует арифметике, алгебре и теории пропорций. Кроме всего прочего в нём описаны действия с отрицательными числами и нулём.

«Сидханта» была переведена в Багдаде на арабский язык в VII или VIII веке. Перевод оказался бесполезным, так как арабы не смогли понять содержание трактата. В VIII веке Джафар Бармакид, учитель и воспитатель знаменитого халифа Гаруна аль Рашида, время и правление которого так красочно описаны в книге «Тысяча и одна ночь», понял причину неудачи: арабам не хватало знаний геометрии и астрономии. По его совету Гарун аль Рашид приказал перевести на арабский язык работы Евклида и Птолемея.

В XI–XII веках труды арабских учёных стали проникать в Европу, а до этого единственным учебником математики была краткая «Арифметика» Боэция, созданная в начале VI века, на излёте античности. Единственный крупный математик Cредневековья Леонардо Фибоначчи жил в XIII веке. После него математики такого уровня появились в Европе только в XVII веке. Удивительное исключение обязано своим существованием географическому стечению обстоятельств. Отец Леонардо Фибоначчи, купец из Пизы, служил послом родного города в Северной мусульманской Африке. Леонардо выучил основы математики у арабского учителя. Позднее он изучал методы вычислений в Египте и Сирии, Греции и Сицилии.

Фибоначчи написал несколько книг по математике. Для своих занятий он переводил работы греческих и арабских математиков (в том числе и Евклида) на латинский язык.

Развитие средневековой европейской цивилизации, происходившее в отсутствие точных наук, кажется многовековым затишьем. Некоторую роль в подготовке возрождения восприятия абстрактного математического языка сыграл язык символов и образов, столь привычный в Средневековье. К самой математике относились с недоверием, считая её частью колдовства. Некоторые основы математики знали астрологи. Каббала, алхимия, астрология, вера в особое значение и мистическую силу определённых чисел помогли математике не остаться на уровне чисто прикладной дисциплины.

Логику сохранили схоласты. Свои рассуждения о «едином», «воле», «истине», «благодати» они проводили по всем правилам логики Аристотеля.

Наконец, многие века зрела проблема, которой, наряду с требованиями астрономии, было суждено стать стимулом стремительного взлёта математики в XVII веке. Этот вопрос достался человечеству в наследство также от греков – проблема бесконечности. Греки верили в принципиальную конечность космоса. Всё, что доступно чувствам, имеет конечные размеры. Но они ввели абстрактное понятие «актуальной бесконечности». Им принадлежит идея о том, что сама бесконечность существует только как идея, в то время как любая её часть реализуема и конечна. Тему бесконечности подхватили христианские теологи. О трансцендентности