class="p1">Можно ли склеить из обрывков прямую? Можно, но для этого потребуется бесконечное число обрывков. Склеить прямую из конечного числа обрывков невозможно; в силу ранее сказанного это значит, что прямая не компактна. Аналогично плоскость можно склеить из бесконечного числа лоскутов, но нельзя – из конечного; это значит, что плоскость не компактна. Покажем, как из бесконечного числа обрывков можно склеить полуинтервал. Возьмём прямую и будем строить на ней бесконечное число отрезков. Начнём с произвольного отрезка А0А1. Пусть его длина равна l. К концу А1 этого отрезка приклеим отрезок А1А2 длины l/2. К точке А2 приклеим отрезок А2А3 длины l/4. И будем подклеивать всё новые и новые отрезки, причём так, чтобы длина каждого отрезка составляла половину длины предыдущего. Из всех этих отрезков, число коих бесконечно, составится полуинтервал длины l + l/2 + l/4 + l/8 +… = 2l с концом в А0. А если ещё тем же способом подклеивать отрезки с другой стороны исходного отрезка, получится интервал. Надеемся, что читатель сумеет склеить из бесконечного количества лоскутов как открытый круг, так и открытый квадрат.

Мы в состоянии теперь дать общее определение одномерных или двумерных многообразий безотносительно к тому, являются они компактными или нет. Многообразие – это такая геометрическая фигура, которую можно склеить из конечного или бесконечного числа лоскутов (тогда многообразие двумерно) или обрывков (тогда многообразие одномерно).

Призываем читателя, прежде чем двигаться дальше, подумать, как следует определить трёхмерное многообразие.

Сперва надо указать те элементарные «кирпичики», из которых складывается любое трёхмерное многообразие. В случае двумерных многообразий такими «кирпичиками» были лоскуты, в случае одномерных многообразий – обрывки. Чтобы выдержать единство стиля, трёхмерные кирпичики мы назовём комками. Комок – это тело, которое можно получить из шара путём его деформации; при этом шар разрешается мять, растягивать и сжимать, но не разрешается делать склейки и разрывы. Вот пример запрещённой деформации: скатаем шар в цилиндр, а концы цилиндра склеим; мы получим тор, который комком не является. Трёхмерное многообразие – эта такая геометрическая фигура, которая может быть получена склеиванием конечного или бесконечного числа комков. Для склеивания шара, тора, гири с ручками достаточно конечного числа комков; поэтому все эти фигуры суть компактные многообразия. А вот ошкуренный шар или всё пространство можно склеить лишь из бесконечного количества комков, поэтому эти многообразия не являются компактными.

Однако мы обязаны предупредить читателя вот о чём: в главе 12 мы встретимся с компактным двумерным многообразием (а именно бутылкой Клейна), не умещающимся в трёхмерном евклидовом пространстве. Чтобы склеить его из лоскутов, надо выйти из трёхмерного пространства в четырёхмерное. Трёхмерная сфера, являющаяся компактным многообразием, не помещается в трёхмерном пространстве. Чтобы склеить её из комков, также надо выйти в четырёхмерное пространство. А бывают и такие трёхмерные многообразия, для которых не хватает и четырёхмерного пространства, и они требуют для своего размещения пространства пятимерного (слава богу, для размещения трёхмерных многообразий не требуется привлечения пространств с числом измерений, бóльшим пяти). Все наши операции по склеиванию многообразий из обрывков, лоскутов, комков и т. д. были чисто мысленными, а тут, как видим, ещё прибавилась трудность, которая весьма и весьма напрягает мысль, – необходимость для некоторых многообразий выходить в пространства высоких измерений.

Гомеоморфизмы, гомеоморфия, топология

Слово «гомеоморфия» пугает непосвященного, но скрывающееся за ним понятие весьма естественно. Предварим разъяснения философическими комментариями. Не могу вспомнить, у кого я вычитал следующую мудрую сентенцию: наука начинается там, где устанавливаются понятия одинаковости и различия. Когда эти понятия установлены, то определяется и совокупность тех свойств, которые являются общими у одинаковых предметов. Именно изучение этих общих свойств, каковые естественно назвать инвариантами, составляет основу того или иного раздела науки.

Проиллюстрируем сказанное примером из зоологии. В самом элементарном смысле каждая собака одинакова только сама с собой, но уже на следующей ступеньке абстракции одинаковы все таксы и все сенбернары. (Кинологи меня убьют, справедливо заявив, что таксы – это целая группа пород, а сенбернары бывают двух разновидностей – длинношёрстные и короткошёрстные, так что предложенная ступенька не является следующей.) Затем можно считать, что одинаковы все собаки, отличая их, однако, от волков и лисиц. Далее можно и собак, и волков, и лисиц признать одинаковыми, как представителей семейства псовых (они же собачьи, они же волчьи). И так вплоть до одинаковости всех живых организмов. Этот пример показывает, что чем более либерально представление об одинаковости, чем меньше объём тех свойств, которые должны совпасть у двух предметов для признания их одинаковыми, тем важнее и глубже становится само понятие одинаковости, ведь очевидно, что различие между собакой и камнем важнее и глубже различия между собакой и кошкой. Инварианты, присущие всем живым организмам, и составляют основной предмет изучения биологии.

Уже в школьной геометрии мы встречаемся с двумя видами одинаковости – конгруэнтностью фигур и их подобием. Как мы уже говорили, в школе конгруэнтные фигуры как бы не различают и потому называют их равными. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры во всех своих деталях (т. е. изометричны). Подобие же, не требуя одинаковости размеров, означает одинаковость пропорций этих размеров; поэтому подобие отражает более сущностное сходство фигур, нежели конгруэнтность. (А изометрия занимает промежуточное, хотя и очень близкое к конгруэнтности, положение между конгруэнтностью и подобием.)

Гомеоморфия – это наиболее глубокая степень геометрической одинаковости. Сейчас мы попытаемся дать приблизительное объяснение этому понятию путём постепенного к нему приближения.

Геометрия в целом стоит на более высокой ступени абстракции, нежели физика, а физика – чем материаловедение. Возьмём, к примеру, шарик подшипника, бильярдный шар, крокетный шар и мяч. Физика не вникает в такие детали, как материал, из которого они сделаны, а интересуется лишь такими свойствами, как объём, вес, электропроводность и т. п. Для математики все они шары, различающиеся только размерами. Если шары имеют разные размеры, то они различаются для метрической геометрии, но одинаковы для геометрии подобия. Поэтому геометрия подобия более абстрактна, чем метрическая геометрия. С точки зрения геометрии подобия одинаковы и все шары, и все кубы, а вот шар и куб не одинаковы. Метрическая геометрия изучает те инварианты, те свойства, которые являются общими для всех конгруэнтных друг другу фигур, а геометрия подобия – те инварианты, которые являются общими для всех фигур друг другу подобных.

А теперь посмотрим на тор. Призываем благосклонного читателя осознать, что шар и куб «более одинаковы» между собой, чем каждый из них и тор. Наполнить это интуитивное осознание точным смыслом позволяет