инварианты, т. е. свойства, общие для всех изометричных друг другу фигур. Именно эту геометрию изучают в средней школе. А разве бывает другая? Бывает, и к этой другой (возможно, точнее было бы сказать «к одной из таких других») мы собираемся перейти. Вот два примера геометрических задач, никак не связанных с понятием расстояния:

задача Мёбиуса – в 1840 г. Август Фердинанд Мёбиус, о котором будет рассказано в главе 12, предложил такую задачу: «Жил-был король, и было у него пять сыновей. В своём завещании он указал, что после его смерти королевство должно быть разделено между его сыновьями на пять областей, причём каждая область должна иметь общую границу с каждой из остальных четырёх. Может ли быть исполнено это завещание?»;

задача о пяти городах – можно ли пять городов соединить, каждый с каждым, непересекающимися дорогами?

Для обеих задач ответ отрицательный. Произвольно выберите пять точек на какой-либо поверхности и попытайтесь соединить их каждую с каждой непересекающимися линиями, проходящими по той же поверхности. Вы легко сделаете это на поверхности тора. А вот ни на плоскости, ни на сфере сделать это вам не удастся.

Не удастся также исполнить королевское завещание в любом королевстве, расположенном на плоскости или на сфере. На торе же может сыскаться королевство, в котором последняя воля короля будет исполнена. Заметим, что из отсутствия решения для задачи о пяти городах вытекает отсутствие решения и для задачи Мёбиуса. В самом деле, если бы разделение королевства на пять областей, удовлетворяющее требуемому свойству, было возможным, то, соединив столицы соседних областей дорогой, пересекающей общую границу, мы получили бы пять городов, соединённых непересекающимися дорогами.

Чтобы не перегружать изложение, мы не формулировали явно, а лишь подразумевали нижеследующее требование. Предполагается, что каждая область гомеоморфна кругу.

Подробнее о понятии гомеоморфии мы поговорим в главе 11. Пока же нам будет достаточно следующего понимания фразы «область гомеоморфна кругу». Нанесём нашу область на плёнку, сделанную из неограниченно растяжимого и неограниченно сжимаемого материала, и вырежем её из плёнки по контуру границы. Гомеоморфность кругу означает, что без разрывов и склеиваний нашу область можно деформировать в круг. Например, кругу гомеоморфен не только квадрат и вообще любой многоугольник, но и боковая поверхность конуса, а также боковая поверхность цилиндра, если прорезать в ней щель.

А вот вам ещё один пример – эйлерова характеристика поверхности. Вообразим себе планету, поверхность которой состоит из материка и окружающего его океана. На материке расположены страны, каждая из которых как геометрическая фигура гомеоморфна кругу. (Для ясности: Италия не такова, в состав её входят острова, и уже потому она не гомеоморфна кругу. Впрочем, не такова и её материковая часть, поскольку Ватикан и Сан-Марино создают в ней «дыры».) Океан, царство Нептуна, также объявляется страной. Нарисуем на глобусе политическую карту планеты. Узлом назовём всякую точку, где сходятся несколько границ, ребром – участок границы между соседними узлами. К общему числу стран прибавим общее число узлов и затем вычтем общее число рёбер. Мы обязательно получим число два. Данный факт и составляет содержание знаменитой теоремы Эйлера, в справедливости которой приглашаем читателя убедиться на примерах. Число два называется эйлеровой характеристикой сферы.

Оказывается, эйлерова характеристика существует у многих поверхностей (в частности, у любой компактной поверхности, а что это такое, будет разъяснено в главе 11). Наличие у данной поверхности эйлеровой характеристики означает следующий замечательный факт: какую карту ни начерти на рассматриваемой поверхности, вычитание числа границ из суммы числа стран и числа узлов всегда даёт один и тот же результат. Любознательный читатель может сам подобным же образом вычислить эйлерову характеристику поверхности тора и убедиться, что она равна нолю. Для этого достаточно нарисовать какую-нибудь карту на торе, не забывая при этом, что каждая страна должна быть гомеоморфна кругу, а затем из суммы числа стран и числа узлов вычесть число рёбер.

Все приведённые наглядные примеры принадлежат геометрии положения. Довольно давно было замечено, что некоторые геометрические задачи, подобные задаче о пяти городах и дорогах между ними, имеют качественный (а не количественный!) характер. Вот другая задача того же типа: провести непересекающиеся дороги от каждого из трёх домов к каждому из трёх колодцев; ни на плоскости, ни на сфере это невозможно, но возможно на поверхности тора. Для исследования таких задач совершенно несущественны размеры фигур и даже пропорции этих размеров – существенно лишь взаимное расположение точек и линий. Математическую дисциплину, которая этим занимается, ещё до её возникновения Лейбниц предложил называть Analysis situs (анализ положения) или Geometria situs (геометрия положения). Пуанкаре писал в трактате «Наука и метод» в главе «Будущее математики»:

Есть дисциплина, которую называют Analysis situs и предметом изучения которой являются соотношения расположений различных элементов фигуры независимо от их величины. Эта геометрия – чисто качественная: её теоремы остались бы справедливыми, если бы точные фигуры были заменены грубыми изображениями, созданными ребёнком. Можно построить также Analysis situs более чем трёх измерений. Важность Analysis situs огромна, и я не думаю, чтобы его значение могло быть преувеличено…

Смеем надеяться, что слова о более чем трёх измерениях не остались не замеченными читателем.

Есть две известные задачи геометрии положения, взятые из реальной жизни, причём вторая имела и практическое значение.

Первая – это знаменитая задача о кёнигсбергских мостах. Река Прегóля (Прегель), протекающая через город Кёнигсберг (переименованный 4 июля 1946 г. в честь скончавшегося 3 июня того же года, но никак не связанного с городом М. И. Калинина в Калининград), образует различные протоки, через которые были перекинуты семь мостов. На рис. 8 представлена старинная карта города. Буквы и цифры, добавленные к ней, обозначают части города (А – Альтштадт, Б – Кнайпхоф, В – Ломзе, Г – Форштадт) и мосты [в порядке строительства: 1 – Лавочный (Торговый), 2 – Зелёный, 3 – Рабочий (Мусорный), 4 – Кузнечный, 5 – Деревянный, 6 – Высокий, 7 – Медовый][82]. Рис. 10 воспроизводит план расположения мостов, начертанный самим Эйлером. Если на этом плане прочесть их немецкие названия, то можно увидеть, что карта на рис. 8 и план на рис. 10 повёрнуты относительно друг друга. В схематическом виде план Эйлера повторён на рис. 9. Немецкие названия мостов написаны на плане не слишком разборчиво, поэтому мы приведём их здесь, слегка осовременив орфографию (Эйлер для всех названий употреблял раздельные написания): a – a – Krämerbrücke (Лавочный, или Торговый, мост), b – b – Schmiedebrücke (Кузнечный мост), c – c – Grüne brücke (Зелёный мост), d – d – Köttelbrücke (Рабочий, или Мусорный, мост), e – e – Honigbrücke (Медовый мост), f – f – Holzbrücke (Деревянный мост), g – g – Hohe brücke (Высокий мост).

На Эйлеровом плане видна надпись: Comment. Acad. Sc.