следующий мысленный эксперимент. Представим себе трёхмерную геометрическую фигуру (тело) сделанной из материала столь податливого, что его можно изгибать, растягивать, сжимать и вообще деформировать как угодно – нельзя только ни разрывать, ни склеивать. На рис. 15[90] изображены три тела, шар и ещё два, каждое из которых можно преобразовать в любое другое деформацией указанного вида.

Когда говорят о запрете на склеивание, это означает, что две разные точки не должны склеиваться в одну. Пример запрещённой деформации показан на рис. 16.

Левая фигура на рис. 16 деформируется в среднюю вполне законно, а вот при переходе от средней фигуры к правой как раз и происходит склеивание. Законно деформировать правую фигуру в среднюю тоже не удаётся: в этом случае, напротив, произойдёт разрыв.

Очевидно, что деформацией без разрывов и склеиваний шар можно превратить в куб, но вот в тор превратить невозможно. С другой стороны, в тор можно превратить гирю с одной ручкой (см. рис. 12), а вот в гирю с двумя ручками превратить тор нельзя. Превращение тора в кружку с ручкой и обратно читатель может наблюдать на сайте «Википедии», на движущейся картинке в статье «Топология»[91].

Не назвав этого понятия, мы уже познакомились с гомеоморфией. Две фигуры называются гомеоморфными, если одну можно превратить в другую путём деформации без разрывов и склеиваний; сами такие деформации называются гомеоморфизмами. Все фигуры, изображённые на рис. 15, гомеоморфны друг другу, тор гомеоморфен гире с одной ручкой и кружке с ручкой. Шар гомеоморфен кубу и пирамиде, но не гомеоморфен ни тору, ни кренделю, а последние два тела не гомеоморфны между собой. Явление гомеоморфии изучается в высшем разделе геометрии – топологии, и потому гомеоморфизмы называются также топологическими преобразованиями.

Комок (как мы его определили выше в разделе о многообразиях) – это тело, гомеоморфное шару.

Толковый словарь Ушакова определяет крендель как выпечку (сдобную витую булку) в форме буквы В. С той точки зрения, которая выражена в понятии гомеоморфии, и выпечка в форме буквы В, и выпечка в форме цифры 8, и выпечка в форме греческой буквы θ (теты, которая в русском письменном языке дореволюционной орфографии стала фитой) имеют одну и ту же форму. Даже если предположить, что хлебопёки сумели получить тесто, обладающее вышеуказанными свойствами податливости, колобок невозможно путём гомеоморфизма превратить ни в баранку, ни в крендель, как и два последних вида выпечки – друг в друга. А вот превратить шарообразный колобок в куб или в пирамиду можно. Любезный читатель сумеет найти и такой вид выпечки, в который нельзя превратить ни колобок, ни бублик, ни крендель.

Возможность превращения шара в куб и невозможность превращения его в баранку, а баранки – в крендель говорит о том, что есть некое глубинное геометрическое сходство между кубом и шаром, отсутствующее в других случаях. (Аналогично кит имеет глубинное сходство с мышью, а не с более похожей на него внешне акулой.) Указанное глубинное геометрическое сходство и формализуется в математике в виде гомеоморфии.

До сих пор мы говорили лишь о гомеоморфии трёхмерных фигур. Впрочем, нет, это неверно. Ведь наш лоскут – это, по определению, поверхность, гомеоморфная кругу. Двумерные фигуры под углом зрения гомеоморфии следует представлять себе сделанными из резиновой плёнки, которую можно как угодно мять, растягивать, сжимать; нельзя только эту плёнку ни рвать, ни склеивать; таким образом, допускаются только топологические преобразования. Вырежем из такой плёнки круг. Никаким топологическим преобразованием из него нельзя изготовить продырявленный круг, да и вообще никакой неодносвязный кусок плёнки. Зато его легко превратить в квадрат или в любой другой односвязный кусок. Но ни в поверхность шара, ни в боковую поверхность цилиндра наш круг за счёт гомеоморфизма превратить невозможно, а обе эти поверхности не превращаются ни друг в друга, ни в поверхность тора, ни в поверхность кренделя. Никакие две из рассмотренных только что поверхностей (а это были круг, круг с дыркой, сфера, боковая поверхность цилиндра, поверхность тора и поверхность кренделя) не являются гомеоморфными. Если считать, что на рис. 15 изображены не трёхмерные тела, а их поверхности, то все эти поверхности гомеоморфны друг другу.

Вспомним о спортивных гирях с любым числом ручек. Включим в этот комплект и гирю с нолём ручек (хотя на общечеловеческом языке это будет, скорее, ядро). Если гиря имеет n ручек, то её поверхность (являющаяся, как мы знаем, двумерным компактным многообразием без края) называется в топологии сферой с n ручками. Одна из замечательных теорем топологии гласит, что всякое двумерное компактное многообразие без края, являющееся частью трёхмерного пространства, гомеоморфно сфере с каким-то количеством ручек. (Слова «являющееся частью трёхмерного пространства» существенны, без них теорема неверна. Пример двумерного компактного многообразия без края, в трёхмерном пространстве не помещающегося, будет приведён в главе 12.)

Вернёмся ненадолго к проблеме Пуанкаре. И двумерная, и трёхмерная сфера односвязны, компактны и не имеют края. Вопрос в том, достаточно ли этих двух свойств для однозначного их определения. Однозначность понимается здесь в топологическом смысле, т. е. с точностью до гомеоморфии, ведь в топологии гомеоморфные геометрические фигуры не различаются, они считаются одной и той же фигурой (наподобие того, как одной и той же фигурой считаются конгруэнтные фигуры в школьной геометрии). Для двумерной сферы вопрос (который можно было бы назвать «двумерной проблемой Пуанкаре») ставится, следовательно, так: всякое ли двумерное односвязное компактное многообразие без края гомеоморфно двумерной сфере? Положительный ответ на этот вопрос был известен давно (и уж заведомо известен Пуанкаре). Если же заменить в нём слова «двумерное» и «двумерной» на «трёхмерное» и «трёхмерной», вопрос превращается в знаменитую проблему Пуанкаре, которая 100 лет не поддавалась решению; эту проблему можно назвать «трёхмерной проблемой Пуанкаре».

замечание. У гипотезы Пуанкаре имеются и n-мерные версии, где n > 3. Эти версии формулируются менее элементарно, чем трёхмерная. Они тоже очень трудны, но все же найти их доказательства оказалось проще, чем получить доказательство трёхмерной гипотезы. Эта парадоксальная ситуация чем-то напоминает ту, что сложилась с установлением хроматических чисел поверхностей (см. конец главы 10). Там тоже самым трудным оказалось решить вопрос для сферы; найти хроматическое число для более сложных поверхностей и доказать, что оно является таковым, было делом более простым. В 1960-е гг. была доказана n-мерная гипотеза для всякого n ≥ 5, а для особенно трудного случая n = 4 в начале 1980-х гг. гипотезу доказал Майкл Хартли Фридман (Michael H. Freedman, р. 1951).

Можно говорить и о гомеоморфии одномерных образований – линий. С точки зрения топологии их удобно воспринимать как тонкие резиновые нити, которые допустимо изгибать, растягивать и сжимать, но нельзя