Она расшифровывается как Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, что в переводе с латинского означает «Записки Императорской Санкт-Петербургской Академии наук». Именно в восьмом томе этих «Записок» (с. 128–140) была в 1736 г. опубликована статья Эйлера «Решение одной проблемы, относящейся к геометрии положения» («Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis»), едва ли не первая публикация об этом разделе геометрии. Проблема, которую решал Эйлер, состояла в следующем: можно ли прогуляться по в сем кёнигсбергским мостам, не пройдя ни по одному из них дважды? Эйлер доказал, что нельзя. На какой из рисунков (рис. 8, 9 или 10) следует опираться при решении данной задачи? Очевидно, что это не играет никакой роли, потому что задача принадлежит геометрии положения, для которой важно только взаимное расположение элементов, а не их точная форма.

Вторая задача не менее (а в математической среде, пожалуй, даже более) знаменита. Это так называемая проблема четырёх красок. На географических картах административные единицы, имеющие общий участок границы, для удобства принято закрашивать разными цветами. Такую раскраску называют правильной. В 1852 г. при составлении карты деления Англии на графства возник вопрос: каким минимальным числом цветов можно обойтись? Для той конкретной карты хватало четырёх цветов, как хватало их и для всех воображаемых карт, которые удавалось придумать. Но оставалась возможность того, что есть такая карта (скажем, территориально-административного деления Марса), что четырёх цветов оказалось бы недостаточно для её правильной раскраски. Всегда или нет, для любой ли реальной или воображаемой карты хватает четырёх цветов – вот в чем состоит проблема четырёх красок. Наименьшее число цветов, достаточное для правильной раскраски любой мыслимой карты на сфере, называют хроматическим числом сферы. Ясно, что хроматическое число одно и то же для всех сфер. Проблему четырёх красок, следовательно, можно сформулировать так: верно ли, что хроматическое число сферы равно четырём? Но вот обстоятельство, на которое редко обращают внимание: заранее неясно, существует ли хроматическое число сферы вообще. А вдруг можно строить всё более и более сложные карты, раскраска которых требует всё большего и большего числа цветов? В 1890 г. удалось доказать, что для правильной раскраски любой мыслимой карты достаточно пяти цветов. Тем самым было доказано, что хроматическое число сферы существует и что оно не превосходит пяти.

На торе можно нарисовать 7 стран, каждая из которых граничит с 6 другими (рис. 11). Поэтому хроматическое число тора, если оно существует, не может быть меньше 7. Не знаю, когда точно, но к 1940-м гг. уже было доказано, что хроматическое число тора действительно существует и что оно равно 7. Было найдено и хроматическое число поверхности кренделя – 8. В 1954 г. немецкий математик Герхард Рингель (Gerhard Ringel, 1919–2008) опубликовал доказательство существования хроматических чисел для всех замкнутых поверхностей[83], имеющихся в трёхмерном евклидовом пространстве[84]; более того, для каждой из таких поверхностей он указал такие три последовательных натуральных числа, что одно из них непременно является хроматическим числом данной поверхности. Но проблема четырёх красок оставалась нерешённой.

В 1976 г. было анонсировано, а в 1977 г. изложено доказательство того, что для сферы и плоскости всегда хватает и четырёх цветов; однако оно очень сложно и к тому же опирается на длительные компьютерные вычисления; поэтому не все убеждены в полной корректности этого доказательства. Тем не менее практически все уверены, что хроматическое число сферы и плоскости равно 4.

Всё это факты геометрии положения, где точная форма не имеет значения. Карту можно нарисовать не на плоскости, а на платке, сам же платок смять; сферу можно подвергнуть сжатию, растяжению, сминанию и вообще любой деформации без разрывов и склеиваний, превратить её в поверхность груши, например; тор можно растянуть; крендель – сдавить. Хроматические числа от этого не изменятся.

Глава 11

От геометрии положения к топологии

Продолжим наши попытки разъяснить формулировку гипотезы Пуанкаре. С этой целью прежде всего напомним эту формулировку: всякое односвязное трёхмерное компактное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

«Да что же это такое?! – в сердцах воскликнет читатель. – Автор не удосужился даже перечитать ту формулировку, которую сам же привёл в конце главы 9! Ведь там не было слов "без края"!» Действительно, не было. Дело в том, что математическая терминология точна, но, к сожалению, не однозначна: один и тот же термин подчас употребляется, увы, в разных смыслах. (Мы уже столкнулись с неоднозначностью термина «натуральное число»: при одном понимании число ноль считается натуральным, при другом – нет.) В применении к многообразиям в ходу две терминологические системы. Первая допускает, что многообразия могут как иметь край, так и не иметь его; в её рамках противопоставляются многообразия с краем и многообразия без края, и те и другие называются многообразиями. Вторая система называет многообразиями только те объекты, которые в первой системе именуются многообразиями без края; в рамках этой системы многообразия противопоставляются многообразиям с краем; в этой второй терминологии термин «многообразие с краем» надлежит рассматривать как словосочетание неделимое, а не как означающее такое многообразие, которое имеет край. Дабы сделать формулировку более короткой, в главе 9 мы использовали вторую терминологическую систему[85]. В данной главе нам встретятся многообразия с краем, и, чтобы читатель не запутался, мы будем использовать более контрастную первую систему.

В приведённой только что формулировке выделим понятия, разъяснения коих сделает формулировку понятной. Понятие компактного многообразия без края естественно расщепляется на два: 'компактное многообразие' и 'многообразие без края'. Тогда возникают пять понятий: 'односвязное', 'компактное многообразие', 'многообразие без края', 'гомеоморфно', 'трёхмерная сфера'.

Что такое трёхмерная сфера, мы, как могли, объяснили в предыдущей главе. Самым простым из тех четырёх понятий, которые ещё осталось разъяснить, является понятие односвязности. С него мы и начнём.

Односвязность

Представим себе резинку, которую продают под названием «банковская» и одни называют канцелярской, другие аптечной, т. е. резиновую нить со склеенными концами; при покупке небольшого числа мелких предметов, скажем, карандашей в магазине канцелярских принадлежностей или конвалют (пластиковых матриц с ячейками для таблеток или пилюль) в аптеке, ею часто скрепляют покупку. Вообразим резинку столь упругой, что она, если её не удерживать, стремится стянуться в точку, и столь умной, что ради стягивания в точку она готова пойти и на растяжение: например, если натянуть резинку на «талию» песочных часов, она, чтобы сжаться в точку на вершине колбы, вынуждена будет растянуться, проходя через верхнюю половину колбы. Геометрическая