вдоль окружности. Не будем лишать читателя удовольствия самому разобраться с тем, каким будет конфигурационное пространство в этом случае, и укажем лишь ответ: лист Мёбиуса (он будет описан в главе 12). Его краем служат те положения, при которых частицы сливаются.

6. Частиц три, они скользят вдоль окружности и неразличимы. Здесь следует уточнить, чтó понимается под положением системы. Тонкость заключается в следующем: если две из трёх частиц слились, так что мы видим только две частицы, видим ли мы при этом, где именно находится «двойная», или «тяжёлая», частица? Будем считать, что нет, не видим. Таким образом, положение или состояние системы – это (неупорядоченное) подмножество окружности, состоящее либо из трёх точек, либо из двух, либо из одной.

Для этого случая вопрос о «форме» конфигурационного пространства оказывается намного труднее, чем для предыдущих. Известный польский математик Кароль Бóрсук (Karol Borsuk, 1905–1982), внёсший значительный вклад в развитие топологии, допустил ошибку при решении этого вопроса и опубликовал неверную работу. Правильный ответ нашёл другой знаменитый тополог Рауль Ботт (Raoul Bott, 1923–2005)[96]: конфигурационное пространство в рассматриваемом случае гомеоморфно трёхмерной сфере. Положения, когда все три точки слились в одну, образуют в этой сфере нетривиальный (т. е. не перетягиваемый в окружность) узел – трилистник.

7. Ещё один пример компактного многообразия, естественным образом возникающий в механике, – пространство положений твёрдого тела с закреплённой точкой. Пусть наше тело – шар, который может как угодно вращаться в трёхмерном пространстве, однако центр его должен занимать фиксированное положение. Чтобы описать возможные положения шара, отметим на его граничной сфере точку и приложим к этой точке стрелку, указывающую определённое направление на сфере. Строго говоря, мы рассматриваем вектор, касающийся сферы в данной точке. Проследим, куда этот вектор переходит при вращении. Ясно, что, вращая шар, мы можем получить любой другой касательный вектор той же длины (примем её за единицу) и что знание этого вектора однозначно определяет положение шара. Таким образом, конфигурационное пространство в этом случае гомеоморфно пространству единичных касательных векторов к сфере. Можно доказать, что это неодносвязное компактное трёхмерное многообразие, которое может быть получено из трёхмерной сферы отождествлением всех пар антиподов (т. е. диаметрально противоположных точек). Это многообразие называется трёхмерным проективным пространством.

8. Построим теперь другой пример компактного трёхмерного многообразия, имеющий непосредственное отношение к проблеме Пуанкаре, – так называемую сферу Пуанкаре. Это пространство всех додекаэдров, вписанных в данную двумерную сферу. Его можно также получить следующим образом: сперва произвольно выберем какой-нибудь из таких вписанных додекаэдров, а затем рассмотрим все вращения сферы и отождествим те из них, при которых этот додекаэдр переходит в одно и то же положение. Каждому додекаэдру при этом соответствует 60 вращений, поскольку существует 60 вращений сферы, переводящих заданный додекаэдр сам в себя. Сфера Пуанкаре оказывается неодносвязной. Этот пример неодносвязного компактного трёхмерного многообразия принадлежит Пуанкаре. Он обнародовал его в 1904 г. в опровержение собственной неверной теоремы, опубликованной в 1900 г. Теорема утверждала, что компактное трёхмерное многообразие, в известном смысле похожее на трёхмерную сферу, и есть трёхмерная сфера (гомеоморфные многообразия считаются одним и тем же многообразием!). Обнаружив контрпример к своей теореме, Пуанкаре сформулировал её правильную (как мы теперь знаем) версию в виде знаменитой гипотезы, заметив, что её обсуждение «увело бы нас слишком далеко». Пуанкаре был прав: на доказательство его гипотезы ушло 100 лет.

Глава 12

Какой может оказаться наша Вселенная?

…С каких пор начали исследовать глубину познаний?

Н. В. Гоголь. Игроки. Явление VIII

Для математики значение гипотезы Пуанкаре, превратившейся теперь из гипотезы в теорему Пуанкаре – Перельмана, огромно (не зря ведь за решение проблемы был предложен миллион долларов), равно как огромно и значение найденного Перельманом способа её доказательства, но объяснить это значение здесь – вне нашего умения. Что же касается космологической стороны дела, то, возможно, значимость этого аспекта была несколько преувеличена журналистами. Впрочем, некоторые авторитетные специалисты заявляют, что осуществлённый Перельманом научный прорыв может помочь в исследовании процессов формирования чёрных дыр.

Чёрные дыры, кстати, служат прямым опровержением положения о познаваемости мира – одного из центральных положений того самого передового, единственно верного и всесильного учения, которое 70 лет насильственно вдалбливалось в наши бедные головы. Ведь, как учит физика, никакие сигналы из этих дыр не могут к нам поступать в принципе, а потому узнать, чтó там происходит, невозможно. О том, как устроена наша Вселенная в целом, мы вообще знаем очень мало, и сомнительно, что когда-нибудь узнаем больше. Да и сам смысл вопроса об её устройстве не вполне ясен. Не исключено, что этот вопрос относится к числу тех, на которые, согласно учению Будды, не существует ответа. Физика предлагает лишь модели устройства, более или менее согласующиеся с известными фактами. При этом физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой.

Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того, она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, какие трудно себе представить, она объясняет, как такое может быть. К числу подобных возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость. (Вспомним формулировку проблемы Пуанкаре и из педантизма отметим, что конечность многообразия следует из его компактности, неориентируемость же, напротив, несовместима с односвязностью.)

Долгое время единственной мыслимой моделью геометрического строения Вселенной служило трёхмерное евклидово пространство, т. е. такое, которое известно всем и каждому со средней школы. Это пространство бесконечно; казалось, что никакие другие представления и невозможны; помыслить о конечности Вселенной казалось безумием (не меньшим, чем несколько тысяч лет назад мысль об обращении Земли вокруг Солнца). Однако ныне представление о конечности Вселенной не менее законно, чем представление о её бесконечности. В частности, конечна трёхмерная сфера. От общения с физиками у меня осталось впечатление, что одни отвечают: «Скорее всего, Вселенная бесконечна», другие же: «Скорее всего, Вселенная конечна», и только единицы не имеют определённой точки зрения.

Ниже мы попытаемся объяснить теоретическую возможность конечности Вселенной. Пока что заметим лишь, что конечность Вселенной не означает существования у неё края, «стены». Ведь само по себе отсутствие у геометрической фигуры конца и края ещё не означает её бесконечности. Поверхность нашей планеты, например, конечна, но края у неё нет. Но это мы твёрдо знаем всего несколько сот лет. В детстве я, как и другие, наслаждался старинной картинкой, на которой был изображён монах, дошедший до Края Земли и просунувший голову сквозь небесный свод. Ещё более, чем упомянутая картинка, моё