имеют рост более 6 футов и еще 20% - менее 5 футов 7 дюймов. Средний показатель, или среднее значение, распределения составляет 5 футов 9½ дюймов, а стандартное отклонение - мера изменчивости - 2¾ дюйма. Эти два параметра говорят вам все, что нужно знать о распределении роста в данной популяции. С помощью таблиц распределения вы можете оценить, какая часть населения будет выше или ниже определенного роста. Две трети мужчин находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения - это свойство нормального распределения. Число мужчин ростом выше 6 футов 4 дюйма или ниже 5 футов 3 дюймов слишком мало, чтобы выборка, проведенная Бюро переписи населения США, могла дать надежную оценку доли населения. Эти крайние значения представляют собой хвосты распределения. Если бы вы увидели человека ростом 11 футов 6 дюймов (а вы этого не сделаете), вы бы наблюдали событие со стандартным отклонением 25, такое же редкое, как наблюдение г-на Виниара за движением финансовых цен.

Но нормальное распределение было лишь самым распространенным из семейства статистических распределений, которые были разработаны в девятнадцатом веке. Русский статистик Ладислав Борткевич проанализировал распределение смертей от конских ударов в четырнадцати различных корпусах прусской армии за два десятилетия с 1875 по 1894 год. Как и предполагал Борткевич, он смог использовать распределение Пуассона - другую формулу, названную в честь французского математика Симеона-Дени Пуассона, - чтобы сопоставить общее число смертей. В среднем, в корпусе от ударов лошадей умирало 0,7 человек в год, и только один год из двух - не умирало. Исходя из знания численности корпуса, его анализ позволил Борткевичу предсказать частоту смертей по годам для каждого отдельного корпуса. Для многих студентов - включая авторов - подобные анализы стали судьбоносным откровением потенциала социальных наук. Казалось, что даже самые банальные человеческие дела могут быть рассмотрены с помощью научных методов; капризы греческих богов были укрощены.

Статистические распределения являются продуктом взаимодействия дедуктивных и индуктивных рассуждений. Методы дедукции описывают процесс, который приводит к появлению наблюдаемой переменной - рост американских мужчин, количество убитых прусских офицеров. Методы индукции изучают такие данные и формируют гипотезы о том, как эти данные были получены. Гипотеза может предсказывать распределение и подтверждаться наблюдением за ним, либо быть выведена после наблюдения за ним. В любом случае применимость анализа зависит от сохраняющейся валидности базовой модели.

Модель, использованная Борткевичем, потеряла актуальность после 1918 года. Разгромленная прусская армия исчезла, и если существует ее преемник - армия Федеративной Республики Германия, то эта армия больше не использует кавалерию, и ее офицеры вряд ли станут жертвами конных ударов. Возможно, те, кто подчеркивал капризы богов, все-таки были правы. Применимость моделей к человеческим делам более условна, более преходяща, чем их применимость к природным явлениям. Физики полагаются на стационарность - физические законы остаются неизменными век за веком. Экономические и социальные явления не являются такими же стационарными. Две великие войны двадцатого века изменили общество во многих отношениях, среди которых исчезновение прусских кавалерийских полков было лишь одним, причем не самым значительным. Эти фундаментальные изменения в мировой экономике представляют собой то, что экономисты называют сдвигом или структурным переломом.

Законы власти

Самым распространенным словом в английском языке является "the". В данной книге это слово используется 9742 раза и составляет около 7% от общего количества слов в книге. Второе по частоте употребления английское слово - 'of', за ним следует 'and'. Слова 'gadzooks', 'valetudinarian' и 'antidisestablishmentarianism', хотя и были приняты нашей системой проверки орфографии, не встречаются ни в этой книге, ни в какой-либо другой книге или статье, написанной кем-либо из нас.

Американский лингвист Джордж Ципф изучал частоту слов задолго до того, как такие задачи стали решать компьютеры, и сформулировал то, что известно как закон Ципфа. Если построить частоту слов на логарифмической шкале, то получится более или менее прямая линия с устойчивой зависимостью между популярностью слова и количеством слов с аналогичной популярностью. n-ое наиболее часто используемое слово встречается с частотой в 1/n раз большей, чем наиболее часто используемое слово. Количество слов не ограничивается числом в словаре Microsoft или даже в списках Оксфордского словаря английского языка . Существует множество слов , которые используются очень редко, например, каама, и каждый день изобретаются новые слова.

Этот тип распределения известен как закон мощности - еще одна широко применяемая математическая формула, которая заметно отличается от распределений классической статистики. В нормальном распределении среднее значение (среднее), медиана (середина) и мода (наиболее часто наблюдаемый результат) одинаковы. Эти показатели центральной тенденции будут несколько отличаться, если распределение логнормальное, но основная закономерность, при которой большинство наблюдений группируется вокруг центра, является общей для всех. Однако свойства распределений с силовым законом существенно отличаются. В частности, экстремальные результаты встречаются гораздо чаще, а среднее значение некоторых распределений по закону мощности невозможно вычислить. Если бы рост распределялся так же, как употребление слов, большинство мужчин были бы карликами (большинство слов вообще не употребляется), но несколько человек были бы ростом в сотни футов (человеческий эквивалент слов "the" и "of").

Законы мощности имеют гораздо более широкое применение, чем частота слов. Австралиец Дон Брэдман был величайшим бэтсменом в истории крикета, и установленный закон мощности позволяет нам оценить, сколько бэтсменов должно быть, прежде чем появится еще один такой же хороший, как Брэдман, сколько бэтсменов так же плохи, как авторы, и даже предположить, насколько хорош был Брэдман по сравнению с другими прекрасными игроками других видов спорта (потрясающе хорош).

Нормальное распределение имеет множество применений. Его можно применить к росту бэтсменов. Но не их мастерство - если бы это было возможно, то никогда бы не было игрока калибра Брэдмана, а также миллионов начинающих крикетистов, которые были бы уничтожены первым же мячом, пущенным компетентным соперником. Нормальное распределение также не может описывать землетрясения; если бы оно могло, то никогда не было бы землетрясения, подобного тому, которое произошло в Вальдивии в Чили в 1960 году, - самого большого, измеренного современным регистрирующим оборудованием. Землетрясения происходят по степенному закону - каждый день происходит множество мелких землетрясений, настолько мелких, что они проходят незамеченными. Так же как и астероиды - кратер Юкатана был образован самым крупным из известных нам астероидов, но Земля регулярно подвергается ударам объектов из космоса. Девятнадцатое октября 1987 года, когда основные американские фондовые индексы упали примерно на 20% в течение дня, является финансовым аналогом землетрясения в Вальдивии. Экстремальные события характерны для силовых законов и редки для нормальных распределений.

Применение законов мощности в экономике было