Согласно уравнению Шрёдингера, как всегда, на часть волновой функции, отвечающую значению энергии № 1, прибор откликается положением ручки «измерено значение энергии № 1», а на часть, отвечающую энергии № 2, – индикацией «измерено значение энергии № 2». Но теперь кроме волновой функции есть еще и частицы, и на уровне частиц реализуется какая-то одна ветвь, скажем, та, где «измерено значение энергии № 1» и электрон «имеет энергию № 1».

57

Вот пример процедуры (разумеется, на уровне мысленного эксперимента) для измерения скорости бомовской частицы, совершающей колебания в энергетической яме. Когда частица занимает определенное положение внутри ямы, мы убираем окружающие стенки – таким образом, чтобы на частицу более не действовали никакие силы. Затем мы измеряем ее положение через заданный интервал времени. Поскольку никакие силы не действуют, скорость частицы не меняется, а находим мы эту скорость, поделив расстояние, на котором она оказалась от первоначальной точки, на интервал времени. Такая процедура дает другой ответ, чем значение скорости, приписанное частице в энергетической яме; см.: Norsen T. Foundations of Quantum Mechanics. An Exploration of the Physical Meaning of Quantum Theory (Springer, 2017, ISBN 978-3-319-65866-7).

58

Цитируется по https://www.privatdozent.co/p/the-unparalleled-genius-of-john-von-beb.

59

Попутно фон Нейман констатировал необходимость двух типов эволюции волновой функции: в согласии и, наоборот, в несогласии с уравнением Шрёдингера. Второе – это коллапс, вызванный измерительным прибором; он представлялся, таким образом, математически неизбежным, но одновременно не подлежащим объяснению через какое-либо действие скрытых переменных (и вообще через что бы то ни было).

60

Мнения историков науки несколько расходятся в отношении того, «по какой причине критика Херманн была забыта», и даже по поводу того, сколь существенна была эта критика. Четырнадцать причин (не все из которых выглядят независимыми) перечислены в работе Herzenberg C. L. Grete Hermann: An early contributor to quantum theory, arXiv:0812.3986 [physics.gen-ph]; там, однако, отсутствует какой бы то ни было анализ утверждений самого фон Неймана, и критика в его адрес отчасти опирается на другие работы, а отчасти выглядит декларативной. Более разносторонний и подробный анализ, включающий ссылки как на предшествующие обсуждения работ Херманн, так и собственно на ее работы, а также разбор утверждений фон Неймана и их критики Беллом и Херманн в сравнении можно найти в работе Dieks D. «Von Neumann's impossibility proof: Mathematics in the service of rhetorics,» Studies in History and Philosophy of Modern Physics 60 (2017), 136–148; arXiv:1801.09305 [physics.hist-ph].

61

Для такой мгновенной «сигнализации» между бомовскими частицами требуется хотя бы некоторая степень запутанности между частями системы (формально, волновая функция не должна выражаться в виде произведения различных вкладов). Это, однако, не экзотическое требование к волновой функции, а скорее общая, т. е. широко распространенная, ситуация.

62

Кроме того, объяснения ряда явлений с запутанными волновыми функциями опираются в бомовской механике на то, какой из двух «электронов» первым попадает в свой детектор. Рассуждения несимметричны относительно двух электронов и начинаются с того, который подвергся измерению первым; это может быть любой из двух (выбор вообще вне контроля экспериментатора), и это не проблема, но проблема возникает в том случае, если одни наблюдатели решат, что первым в свой детектор попал электрон № 1, а другие – что электрон № 2: тогда они могут прийти к разным выводам о том, что именно делают бомовские частицы.

63

Условия теоремы Кохена – Спеккера выглядят очень естественными. А именно, если физической величине A (скажем, энергии) приписано значение a, то величине A2 должно быть приписано значение a2, и аналогично во всех похожих ситуациях (без этого вообще трудно придать смысл приписыванию значений). Должны быть связаны и значения для суммы двух различных физических величин, не состоящих во вражде: требуется, чтобы значение, приписанное сумме таких величин A + B, было равно сумме значений a + b, приписанных каждой из них по отдельности; аналогичное требуется и от произведения. Здесь – существенное отличие от теоремы фон Неймана, где подобное условие распространялось и на враждующие величины – что Белл и находил «просто глупым». Теорему иногда называют теоремой Белла – Кохена – Спеккера, поскольку в 1963 г. ее доказал Белл в своей «потерянной» статье, вышедшей только в 1967 г. (доказательство Кохена и Спеккера проще, хотя и его, как выяснилось позднее, можно упростить, особенно если доказывать только для волновой функции, живущей в пространстве размерности 4 или выше).

64

Здесь имеется легкое терминологическое рассогласование, но только легкое – из тех, которые проще терпеть, чем занудливо исправлять. В главе 8 спинорами назывались сами состояния типа «2(спин вперед) минус (спин назад)» вдоль некоторого направления. Такая запись содержит два числа: это число 2, сопровождающее состояние «спин вперед», и число –1, сопровождающее состояние «спин назад». Иногда удобнее считать, что спинор – сама эта пара чисел, а иногда – что спиновое состояние, построенное с их участием. (Разумеется, в состоянии «спин вперед плюс спин назад» оба числа равны единице; единица традиционно пропадает из записи всего, что похоже на умножение.)

65

Иногда запутанность «объясняют», привлекая пару разноцветных носков или просто пару перчаток: вы не глядя кладете одну перчатку из пары в конверт и отправляете в Токио, а другую, тоже не глядя, – в Париж. В момент, когда конверт вскрыт в Токио и там обнаружена левая перчатка, немедленно становится ясно, что в Париже оказалась правая. Но это – вариант «фокуса» с игральными костями, даже еще более упрощенный. Согласование между спинами запутанных электронов при измерении вдоль любого выбранного направления требует скорее такой метафоры: вскрытие конверта показывает, что там перчатка или варежка, а в другом конверте тогда оказывается в точности парный предмет. Эта метафора тоже не слишком точна, но во всяком случае дает лучшее представление об эффекте, чем первая.

66

Число вариантов равно 8 = 2 · 2 · 2, поскольку направлений три, а спин принимает одно из двух значений вдоль каждого. У двух электронов значения их спинов вдоль одного и того же направления всегда должны быть противоположными – ведь хитрые экспериментаторы могут внезапно ориентировать оба прибора Штерна – Герлаха одинаково и проверить это базисное свойство. Поэтому все возможности определяются тем, что написано на куске шпаргалки только для одного, скажем, левого электрона, и обсуждаемые восемь вариантов таковы:

67

Первая строка с плюсами и минусами означает, что левый электрон принимает на себя обязательство продемонстрировать спин «вперед» (+) вдоль любого из трех направлений a, b, c; следующая строка – что «вперед» вдоль a, «вперед» вдоль b и «назад» (–) вдоль c; и т. д.

68

Для получения неравенства требуется не столько вычисление, сколько рассуждение. Дополним таблицу из предыдущего примечания колонкой, где указаны вероятности A, B, …, H, с которыми электроны выбирают каждый из восьми вариантов. Как уже говорилось, эти вероятности – тоже часть шпаргалки, они нам неизвестны, но это нас, вслед за Беллом, не останавливает. А далее добавим еще три колонки, которые показывают, какие варианты дают вклад в интересующие нас три исхода: «вперед (+) слева и вперед (+) справа», когда слева выбрано направление a и справа c; когда слева a и справа b; и когда слева b и справа c:

69

Отсюда сразу видим, что вероятность первого исхода (+ вдоль a слева и + вдоль c справа) равна B + D, вероятность второго исхода равна C + D, а вероятность третьего равна B + F. Но тогда сумма вероятностей второго и третьего есть C + D +