Теперь взглянем на рис. 26, а и б. На них изображены баранки, в каждой из которых выгрызена щель. Говоря научным языком, на них изображены торы со щелями. Края щелей представляют собою круги. На окружностях этих кругов поставлены стрелки, указывающие направления обхода. Исходим из того, что фигуры с рис. 26, а и б сделаны из неограниченно растягиваемой резины, так что в каждой из фигур края щели можно затянуть. Упомянутые окружности при этом склеятся, а фигура превратится в тор. Усложним задачу, потребовав, чтобы при склеивании окружностей совпали направления их обхода. Мы видим, что это осуществимо для фигуры с рис. 26, а и неосуществимо для фигуры с рис. 26, б. Здесь имеется в виду осуществимость посредством деформации в пределах трёхмерного пространства. Однако и для фигуры с рис. 26, б есть способ стянуть края щели так, чтобы направления обхода склеиваемых окружностей совпали. Только для этого надо осуществить операцию не в трёхмерном пространстве, а в четырёхмерном. При этом получится не тор, а бутылка Клейна. Любезный читатель не преминет заметить аналогию между только что изложенным сопоставительным построением тора и бутылки Клейна и построением, также сопоставительным, плоского кольца и ленты Мёбиуса, изложенным в предыдущем абзаце.

Столь длительное обсуждение неориентируемых поверхностей, т. е. фигур двумерных, играло в нашем изложении роль разбега перед прыжком, длительность которого по сравнению с разбегом мала. Аналогом же прыжка у нас будет следующий за сим абзац, посвящённый неориентируемым трёхмерным фигурам.

Трёхмерную геометрическую фигуру, которая была бы неориентируемой, т. е. такую, внутри которой может существовать траектория, приводящая к зеркальному отражению, – подобную фигуру представить себе очень трудно. Тем не менее таковые допускают математическое построение. В нашем обычном трёхмерном пространстве они не умещаются. Те из них, которые компактны и не имеют края, не умещаются даже в «обычном» (евклидовом) четырёхмерном пространстве, подобно тому как неориентируемые компактные поверхности без края не умещаются в трёхмерном пространстве (вспомним, что умещающаяся в трёхмерном пространстве лента Мёбиуса имеет край). Однако уже не вызывает протеста предположение о существовании таких фигур в высших измерениях, ведь и двумерная лента Мёбиуса, не умещаясь на плоскости, требует для своего размещения трёхмерного пространства. И действительно, все неориентируемые трёхмерные тела «хорошо себя чувствуют» в пятимерном евклидовом пространстве.

Вспомним путешествие Готфрида Платтнера, в результате которого он превратился в своё зеркальное отражение. И евклидово пространство из курса средней школы, и трёхмерная сфера ориентируемы. В них отсутствуют траектории, приводящие к зеркальному отражению. Но теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что она неориентируема. А тогда путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Возможно, таким образом, не вполне прав был поэт, сказавший:

Какая тяжкая обида

Существовать и твёрдо знать,

Что из пустых пространств Евклида

Нам никуда не убежать.

И нам с тобою неужели

Идти в грядущие года –

Как в бесконечность параллели,

Не пересекшись никогда.

Приложение к главе 1

Мнение читателя

Он позвонил мне домой 6 июля 2008 г., и я во второй раз осознал, что за те 65 лет, что мы знакомы, его голос практически не изменился. Предыдущий раз он звонил 25 октября 2007 г. (а до того не звонил никак не меньше полусотни лет), поэтому теперь я узнал его сразу. Это был Алик Гуревич, мой одноклассник по замечательной московской 167-й школе в Дегтярном переулке (сейчас её уже нет). В школьные времена мы были достаточно близкими друзьями и какое-то время сидели за одной партой. Мы оба поступили в выпускной, десятый, класс прямо из восьмого, миновав девятый. Но при этом я серьёзно подорвал здоровье – летом не отдыхал ни дня, учил материал девятого класса и сдавал экзамены по всем предметам. Он же, всегда превосходивший меня сообразительностью, сумел поступить в десятый класс, программы девятого класса не проходя вовсе, и получить при этом золотую медаль, причём совершенно заслуженно. Дело было так. В сентябре 1946 г. я пошёл в десятый класс нашей школы, а Алик, как и следовало, в девятый. Но его самолюбие не могло допустить, что я буду учиться в десятом классе, а он в девятом, да ещё и встречаться со мной, десятиклассником, на переменах. Поэтому, проучившись сентябрь в девятом классе, он перешёл в вечерний экстернат, в десятый класс. А проделал это Алик следующим образом. В том десятом классе, куда я перешёл, учился его однофамилец, Аркадий Гуревич. Алик попросил Аркадия взять в канцелярии школы справку, в которой было бы сказано: «А. Гуревич окончил 9 классов». Получив от Аркадия такую справку, Алик предъявил её в экстернат и был принят. Поучившись там какое-то время, он заболел скарлатиной, а после болезни, в начале 1947 г., перешёл в десятый класс школы рабочей молодёжи. Были в то время такие школы. Правда, для обучения в них необходимо было где-то работать. Не возникает сомнений, что Алик сумел обойти и это препятствие.

В 1947 г. мы с ним поступили в Московский университет, но на разные факультеты: он – на физический (физфак), а я – на механико-математический (мехмат). Ныне Алик – известный (и, по моим сведениям, хороший) физик, академик Александр Викторович Гуревич. За те годы, что он мне не звонил, я звонил ему (по служебному телефону) дважды: в 1984 г. с поздравлением по случаю избрания его членом-корреспондентом Академии наук СССР и в 2003 г. с поздравлением по случаю избрания его академиком Российской академии наук. Он говорил со мной вполне дружелюбно, но несколько отстранённо: я явно попадал в общий хор поздравителей. Меньше всего я ожидал его звонка. «Ты что, не узнаёшь, кто с тобой говорит?» – произнёс 25 октября 2007 г. весёлый, чем-то знакомый, но не опознанный мною голос в трубке. Выяснилось, что Гуревич по некоторым делам вступил в контакт с Владимиром Михайловичем Тихомировым и тот сказал ему: «Так вы тот Алик, про которого Успенский рассказывает такие замечательные истории?» После чего Гуревич – видимо, польщённый – взял у Тихомирова мой домашний телефон и позвонил. Его тон был необычайно тёплым, совсем другим, нежели при ответах на мои поздравления. И тут я полюбил Гуревича почти с той же силой, как прежде, в шестом и седьмом классах. Я понял, что для него быть академиком менее важно, чем заслужить восхищение и зависть одноклассников в школьные годы. И что воспоминание о том, как он утёр мне нос 60 лет назад, до сих пор согревает его душу.

Однако вернёмся к