произведений чисел, обратных величин, квадратов, кубов, корней распространенных уравнений и всякое подобное этому. Все это специально вычислялось заранее и тщательно фиксировалось, чтобы в дальнейшем ускорить и облегчить трудоемкие расчеты. У вавилонян имелась даже специальная «логарифмическая» таблица для расчета процентов по кредиту с помощью которой можно было находить показатель степени n, если дано число вида 2n.

Скорее всего, многие формулы находили с помощью наглядных графических способов. Рассмотрим, например, последовательность 1 + 2 + 3 + … + n. Ее можно представить в виде ступенчатой фигуры, каждая клеточка которой равна 1. Из двух таких фигур легко складывается прямоугольник со сторонами n и n + 1, откуда получаем площадь одной ступенчатой фигуры равной n·(n+1)/2.

С помощью трехмерных фигур, составленных из кубиков, вавилонянам удалось даже определить, что сумма ряда 12 + 22 + 32 + … + n2 равна (2n3 + 3n2 + n)/6.

Достижения древних математиков. Площади. Число пи. Объемы

Учитывая всё сказанное, уровень математических познаний древности поражает. Египтяне и вавилоняне умели решать квадратные уравнения, знали арифметическую и геометрическую прогрессии, могли вычислить сумму квадратов последовательных чисел, разбирались в подобии и пропорциях, причем имелся даже специальный термин для тангенса (отношения катетов прямоугольного треугольника). При этом имеются определенные сомнения касательно того, что в реальной практике действительно встречались ситуации, требующие всех перечисленных сложных математических выкладок. Вероятно, некоторые «бытовые» задачи (например, как поделить пшеницу в соответствии с арифметической прогрессией) были помещены в учебные папирусы специально, дабы оправдать изложение дополнительного сложного материала.

Но особенно большие успехи были достигнуты в мастерстве определения площадей различных фигур. Использовались точные формулы для вычисления площадей треугольников, прямоугольников и трапеций, а также приближенные соотношения для площадей любых четырехугольников. Также было найдено достаточно точное выражение для определения площади круга.

В уже известном нам папирусе Ахмеса имеется задача №R52 следующего содержания: «Есть окружность в 9 хетов. Какова площадь окружности? Нужно вычесть от 9 единицу. Останется 8. Умножьте 8 на 8. Это будет равняться 64. Вот перед вами и ответ — площадь круга равна 64 сечатам. Подробный ход вычисления:

…………..9…….9

✓……1/9…….1

…………………..1

После вычитания получается 8.

…………..1…….8

…………..2…….16

…………..4…….32

✓………..8…….64

……………………64

Площадь круга составляет 64».

Текст задачи написан не совсем ясно, поэтому поясним его. Речь идет об окружности с диаметром равным 9 хетам. Поскольку нам уже известно, как считали древние египтяне, то из вспомогательных арифметических выкладок мы можем заключить, что на самом деле из диаметра вычитали не единицу, а 1/9 диаметра. Теперь можно записать следующую египетскую формулу для площади круга

Это выражение легко преобразовать следующим образом

Таким образом, можно заключить, что египтяне определили число π с очень высокой точностью, хотя у них не существовало конкретного понятия о такой константе.

Вопросы определения объемов также исследовались вавилонянами и египтянами с величайшей тщательностью. Они знали способы точно вычислять объемы куба, параллелепипеда, призмы (с трапецией в поперечном сечении), а также правильной усеченной четырехугольной пирамиды. Последнюю формулу едва ли можно вывести, не зная предварительно, что объем пирамиды равен трети от объема призмы с равновеликими основанием и высотой. Этот факт, в свою очередь, никак нельзя установить без использования хотя бы примитивных методов интегрирования, поэтому его строгое обоснование в Египте или Вавилоне представляется сомнительным. Надо полагать, что формула для объема пирамиды была получена эмпирическим путем (например, с помощью взвешивания), а уже затем с помощью математических преобразований удалось вывести выражение и для объема усеченной фигуры.

Усеченной призме посвящена задача № M14 Московского математического папируса, хранящегося в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Ее текст таков: «Скажут тебе: вот усечённая пирамида высотой 6 локтей, стороной внизу 4, а вверху — 2. Исчисли квадрат 4. Это будет 16. Удвой 4. Это будет 8. Исчисли квадрат 2. Это будет 4. Сложи вместе эти 16, 8 и 4. Это будет 28. Исчисли 1/3 от 6. Это будет 2. Исчисли 28 дважды. Это будет 56. Смотри: это 56. Ты нашёл правильно».

Текст задачи слегка запутан, но если обозначить высоту усеченной пирамиды за h, а стороны оснований за a и b, то предлагаемое решение соответствует следующей современной формуле

Вавилоняне знали эту же формулу в ином виде, который позже переняли греки

Также для этой задачи вавилоняне могли использовать приближенную формулу

которая в нашем случае дает величину объема равную 60 кубических локтей, что несколько больше истинного значения.

Влияние восточной математики на греческую

Как теперь должно быть понятно, древнейшие греческие математики действительно могли ездить за мудростью в Египет или Вавилон — там было чему обучаться. С другой стороны, известно, что даже местные писцы постигали вычислительное искусство несколько лет, так что за время короткой поездки едва ли можно было усвоить многое. Другое дело, если греки обучались основам математики у себя на родине, а на берега Нила приезжали уже для того, чтобы повысить уровень своих знаний. Причем едва ли Фалес, Пифагор или Демокрит предпринимали долгие путешествия просто ради нескольких прикладных формул — видимо, за плату или подарки жрецы предоставляли вполне солидную образовательную программу, включавшую и некоторую теоретическую часть. Известно, что Демокрит не без доли тщеславия утверждал, будто бы никто не превзошел его в складывании линий с доказательствами, даже египетские гарпедонапты. Таким образом, можно заключить, что какого-то рода геометрические доказательства использовались и до греков, но история не сохранила об этом никакой информации.

Сами гарпедонапты (греческий термин, который можно перевести как «натягивающие веревку») это египетские чиновники-жрецы, отвечавшие за размежевание земельных участков посредством их обмера особыми шнурами с узлами. Для точности измерений такие шнуры требовалось как можно сильнее натягивать. Именно отсюда произошли современные термины «гипотенуза» (от «ὑποτείνουσα» — натянутая), а также «линия» (от латинского «linea» — полотняная). Само слово «геометрия», как мы уже говорили, по-гречески буквально означает «измерение земли».

Однако тут нужно сделать ряд важных оговорок и пояснений. Известная нам греческая математика коренным образом отличается от восточной, поскольку эллины ставили исследовательскую часть выше прикладной. Не нужно, конечно, думать, будто греки не занимались прямыми подсчетами и измерениями — это, разумеется, составляло основную часть всей их математической