что Фалес умел исчислять высоту сооружений по длине их тени, а также мог определять расстояние от берега до корабля, то есть в совершенстве владел теорией подобия треугольников. А вот упомянутую выше теорему о том, что треугольник, построенный на диаметре окружности, всегда получается прямоугольным, приписывают не только Фалесу, но и Пифагору. О последнем мы знаем в основном лишь различные мифические истории, причем о его авторстве в отношении знаменитой «теоремы Пифагора» нам впервые сообщает (весьма неуверенно) только неоплатоник Прокл, живший почти тысячу лет спустя.

В середине V века до нашей эры геометрия у греков уже становится предметом споров и обсуждений. Зенон Элейский подвергает ее остроумной критике, вскрывая логическую противоречивость примитивных математических взглядов, допускающих возможность делить пространство и время на мельчайшие непротяженные элементы. Протагор из Абдеры и вовсе доказывает, что отвлеченные геометрические понятия не нужны и даже вредны, поскольку не соответствуют реальной действительности (в самом деле, в быту мы едва ли ожидаем встретить линию, не имеющую вовсе никакой ширины).

С другой стороны, Анаксагор уже тогда решает уточнить перенятое у египтян значение числа π, для чего пытается (разумеется, безрезультатно) строить квадрат с площадью равной площади заданного круга.

Первые идеологические споры о математике. Бесконечно малые

Настоящий расцвет ранняя греческая геометрия пережила благодаря работе Демокрита и основанной им атомистической школы. Судя по всему, все свои математические изыскания атомисты вели на безе нескольких предпосылок (лемм). Приведем здесь некоторые из них:

— сумма бесконечно большого числа любых, даже чрезвычайно малых, протяженных величин бесконечно велика;

— сумма любого, даже бесконечно большого, числа непротяженных величин всегда равна нулю;

— точка есть то, что не имеет частей;

— прямая есть такая линия, которая имеет то же самое направление, что и лежащие на ней точки;

— плоскость есть такая поверхность, которая имеет то же направление, что и лежащие на ней прямые;

— прямая состоит из точек, плоскость состоит из приложенных друг к другу прямых, тело состоит из наложенных одна на другую плоскостей;

— если через все точки кривой провести прямые и получить ломаную линию, то эта ломаная будет тождественна исходной кривой;

— если некоторая величина путем прибавления или вычитания может достигнуть требуемой величины, то можно утверждать, что она состоит из частиц, а все величины, состоящие из частиц, относятся друг к другу как целые числа.

Как признавал еще Архимед, с некоторыми из этих лемм «нелегко согласиться», однако они оказались очень мощным инструментом в деле поиска и доказательства новых истин. Из двух первых лемм Демокрит выводил необходимость существования неделимых величин «амеров» (эти математические объекты не следует путать с атомами, которые являлись физически неделимыми, но могли обладать любыми размерами и допускали мысленное деление на части). Таким образом, фактически вводились понятия для примитивного интегрального исчисления.

Атомистический подход позволял легко доказать, что две любые пирамиды с равновеликими основаниями и одинаковыми высотами будут иметь равный объем. В самом деле, если нарезать пирамиду на тончайшие слои, то каждый из получившихся многоугольников одной пирамиды окажется равновеликим соответствующему многоугольнику другой. Получается, что суммы всех многоугольников, из которых состоят обе пирамиды, равны, а, следовательно — одинаковы и их объемы. Тут важно уточнить, что у сравниваемых пирамид основания могут иметь различающуюся форму, и важно лишь равенство их площадей. Аналогичные рассуждения можно привести и для призм с равновеликими основаниями и равными высотами. А поскольку, с точки зрения атомистов, круг являлся многоугольником с очень большим числом сторон, то все сказанное оказывалось справедливым также для конуса и цилиндра.

Поскольку треугольную призму легко разделить на три равновеликих пирамиды, тот объем каждой такой пирамиды равен трети объема этой призмы или же — в более общем виде — объем пирамиды и конуса равен трети произведения площади их основания на высоту. Хотя греки не вычисляли объемы по современным нам формулам, а говорили именно об отношении объемов одних тел к объемам других.

Если теперь разбить круг (бесконечноугольник) на множество чрезвычайно узких треугольников с вершиной в центре, то можно легко увидеть, что площадь круга равна половине произведения его периметра на радиус. Аналогично можно и шар (бесконечногранник) представить как совокупность тончайших пирамид с вершинами в центре, и тогда объем шара окажется равен трети произведения площади его поверхности на радиус. Вопрос о том, как определить периметр круга и площадь поверхности шара пока что оставался открытым.

Похожим образом атомисты подходили к вопросу о площади эллипса, который, вслед за древними египтянами, понимался просто как сплющенный круг, все ординаты которого относятся к абсциссам как n/m (греки еще не знали декартовой системы координат, но рассуждали в точности так же). При таком определении круг и эллипс можно мысленно разделить на тончайшие вертикальные полоски, сумма которых и даст общую площадь исходных фигур. Поскольку высота каждой полоски эллипса относится к соответствующей полоске круга как n/m, то и площади фигур находятся в таком же соотношении между собой.

Кроме сказанного, можно косвенно предположить, что знаменитый парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе был направлен именно против атомистов, которые занимались суммой ряда 1/2+1/4+1/8+1/16+… и, похоже, пришли к выводу, что она равна единице.

Первые «Начала». Квадратура круга

Уже в конце V века до нашей эры Гиппократ из Хиоса (неудачливый торговец, но талантливый математик, которого не следует путать его со знаменитым врачом), перебирается в Афины и составляет «Начала» — первый свод всех имеющихся геометрических знаний — который, к сожалению, дошел до нас лишь в нескольких отрывках. Из комментариев Симпликия (преподавал в Академии, когда император Юстиниан закрыл ее в 529 году) к Аристотелю мы знаем, что в центре интересов Гиппократа стояла проблема квадратуры круга. Этот ученый сумел доказать, что для некоторых серповидных фигур (луночек), ограниченных двумя круговыми дугами, можно с помощью циркуля и линейки построить равновеликие треугольники, а, значит, и квадраты.

На чертеже заштрихованы подобная луночка (возможны и другие варианты ее построения) и равновеликий ей треугольник. Докажем равенство их площадей. Из рисунка видно, что диаметр малой окружности и радиус большой связаны соотношением AB2 = 2·OB2. Тогда половина площади малой окружности будет равна π·AB2/8 = π·OB2/4, но площадь четверти большой окружности тоже равна π·OB2/4. Если исключить общую часть рассматриваемых площадей, то останутся именно заштрихованные области, чье равенство и требовалось доказать.

Предполагалось, что, следуя этим путем, будет возможно построить квадрат равновеликий всему кругу, но, разумеется,