вывод: их пять. Еще один способ думать о пяти – воображать какую-то знакомую форму: пятиугольник, X, V или W, звезду или даже самолет:

Рис. 92

Так даже ребенок способен понять большее число прежде меньшего. Я был знаком с одной девочкой, которая, похоже, усвоила значение шести раньше значения пяти, потому что много играла с наборами треугольников и шестиугольников.

Каждое число олицетворяет мыслительный труд в разных мирах. Спрашивать, что правильнее – считать, сопоставлять или объединять в группы – просто глупо: все методы сочетаются и вместе порождают объем навыков, которые развиваются, наращивая силу и эффективность. Действительно полезными «значениями» являются не умозрительные логические цепочки определений, а гораздо более трудные для выражения массивы способов запоминания, сравнения и изменения образов предметов. Логическая цепочка легко рвется, зато мы реже запинаемся, если используем перекрестную сетку значений; когда какое-либо значение оказывается бессмысленным, мы просто подставляем другое. Рассмотрим, например, сколько разных «два» известно ребенку: две руки, две ноги, две туфли, два носка и т. п. Что касается тройки, вспомним знаменитую детскую сказку о трех медведях. Сами медведи, как правило, воспринимаются как «Два и один», то есть папа-медведь, мама-медведица и медвежонок. Но вот их чашки с похлебкой, которые не следует брать, – это уже совсем другая тройка: героиня сказки ест из всех трех чашек, и похлебка из последней (компромисс между крайностями) кажется ей вкуснее всего.

18.8. Трудности математики

Эта теория бесполезна. Она даже не ошибочна!

Вольфганг Паули

Ученые и философы вечно стремятся к простоте. Они счастливы, когда всякое новое явление удается определить через те, для которых уже существуют определения. Если мы продолжим так поступать, тогда все на свете можно определить через последовательные слои и уровни. Так математики обычно определяют числа. Они начинают с определения нуля – или, скорее, предполагают, что нуль не нуждается в определении. Затем они определяют единицу как «следующую» за нулем, двойку как следующую за единицей и т. д. Но почему они предпочитают такие цепочки? Почему бы не допустить, что каждое число может быть связано с наивозможно большим количеством других чисел? Ответ выглядит своего рода парадоксом.

Как ученым, нам нравится создавать изящные, хрупкие теории. Нам нравится выстраивать их так, чтобы при малейшей неточности рухнуло сразу все!

Почему ученые используют столь шаткие стратегии? Потому что, если проявится ошибка, они будут первыми, кто ее заметит. Ученые обожают такую хрупкость, потому что она помогает им найти драгоценные доказательства, которые они так любят, и каждый их следующий шаг увязан в идеальную сетку с предыдущим. Даже когда процесс терпит неудачу, это означает лишь, что сделано новое открытие! Особенно в мире математики, где почти правильно равнозначно совершенно неправильному. В некотором смысле это суть математики – стремление к абсолютной цельности.

Но это скверная психология. В реальной жизни наш ум вечно сталкивается с посылками, которые впоследствии оказываются неправильными. Плохо, что мы позволяем учителям преподавать нашим детям математику как стройную, но хлипкую конструкцию, не требуем обучения надежным перекрестным подключениям. Цепочка может порваться когда угодно, башня может опрокинуться при малейшем толчке. Именно так происходит на занятиях математикой с умом ребенка, чье внимание на мгновение привлекло красивое облако.

Учителя пытаются убедить своих учеников в том, что уравнения и формулы более выразительны, чем обычные слова. Но для освоения языка математики требуются годы, а до тех пор формулы и уравнения во многих отношениях заслуживают меньше доверия, чем рассуждения здравого смысла. Соответственно принцип инвестирования работает против учителя математики, поскольку пусть потенциальная полезность строгой математики велика, но она весьма далека от насущных нужд и большинство детей в дальнейшем станут использовать вне школы только обычные методы счета. Недостаточно заявить: «Когда-нибудь вы поймете всю пользу» или даже «Изучите это, и я вас полюблю». Если новые идеи не связаны с остальным миром ребенка, такое знание не приживется.

Обычные цели обычных людей – не то же самое, что цели профессиональных математиков и философов, которые любят «вкладывать» явления в формы с минимумом соединений. Дети из своего повседневного опыта знают, что чем сильнее взаимосвязаны идеи здравого смысла, тем полезнее они, вероятно, окажутся. Почему столько школьников приучаются бояться математики? Возможно, отчасти потому, что мы пытаемся научить детей формальным определениям, которые предназначены для максимального «утоньшения» смысла. Нельзя думать, что эти узкие определения будут помогать детям «разобраться». Скорее, они окончательно запутаются. Вместо того мы должны помочь им научиться строить более надежные сети в своих головах.

18.9. Избыточность и восстановление

Большинство машин, создаваемых людьми, перестают работать, когда ломаются их элементы. Разве не удивительно, что наши умы продолжают функционировать, внедряя в себя изменения? Им приходится это делать, ведь ум не в состоянии повесить на окно вывеску «Закрыто на ремонт». Но как мы продолжаем работать, когда некие жизненно важные элементы ума меняются или даже ликвидируются? Известно, что мозг способен трудиться вопреки травмам, когда погибает огромное количество клеток. Как возникла и действует столь надежная система? Вот несколько объяснений.

Дублирование. Можно спроектировать машину так, чтобы каждая ее функция реализовывалась несколькими дублирующими друг друга агентами. Если какой-либо агент отключается, вступает один из его дублеров. Машина, основанная на такой схеме дублирования, может быть удивительно надежной. Например, предположим, что каждая функция дублируется десятью агентами. Если некая авария уничтожит половину агентов этой машины, вероятность того, что какая-либо конкретная функция полностью исчезнет, равна шансу десяти подброшенных монет упасть одной стороной верх – меньше единицы на тысячу. У многих разделов человеческого разума действительно имеются дубликаты.

Самопочинка. Многие органы тела способны регенерировать, то есть восстанавливать фрагменты, потерянные вследствие травмы или болезни. Однако клетки мозга, как правило, лишены этой способности. Следовательно, регенерация не может являться залогом надежности мозга. Поневоле задумаешься, почему такой жизненно важный орган, как мозг, оказался менее способным к восстановлению «неисправных» фрагментов по сравнению с другими органами. Предположительно все объясняется тем, что простая замена отдельных агентов не поможет, если нельзя восстановить все налаженные связи между этими агентами. Поскольку именно сети агентов хранят в себе наше знание, замена отдельных элементов не восстанавливает утраченные функции.

Распределенные процессы. Можно сконструировать машину, в которой выполнение какой-либо функция не «привязано» к конкретному месту. Вместо того каждая функция «разворачивается» на весь диапазон местоположений, и в результате активность каждого элемента оказывает влияние сразу на несколько различных функций. В таком случае ликвидация какого-либо элемента не уничтожит функцию целиком, а лишь приведет к