2q², значит p² — четное число, но тогда p тоже должно быть четным, и мы можем записать его в виде p = 2p'. Подставим это выражение в исходное равенство и получим q² = 2p'². Повторив все предыдущие рассуждения, мы получаем, что число q также четное и может быть записано как q = 2q', откуда теперь получаем p'² = 2q'² или (p'/q')2 = 2. Мы получили противоречие исходному положению, ведь p' и q' вдвое меньше p и q, и, значит, такие числа не могут существовать вовсе, то есть квадратный корень из 2 невозможно представить целочисленной дробью.

Приведенные рассуждения легко обобщаются, так что таким же способом можно легко доказать, что, если квадратный корень из любого числа не извлекается нацело, то он иррационален.

В любом случае по геометрической концепции атомистов был нанесен удар сокрушительной силы. В самом деле, получалось, что существуют отрезки, которые не находятся в точном числовом отношении ни к какой единице длинны, то есть нет таких двух целых чисел p и q, что данный отрезок, взятый p раз, был бы равен единице длины, взятой q раз.

Положение о том, что существуют несоизмеримые величины, привело греческих математиков к убеждению, что числа являются не совсем «хорошими» вещами, поэтому геометрию следует развивать независимо от них. Пифагорейцы же посчитали, что информацию о существовании иррациональности вовсе не следует сообщать другим людям, и, по легенде, даже убили своего соратника Гиппаса за то, что тот все-таки разгласил эту тайну.

Разгром атомистической математики

После открытия несоизмеримых величин математика атомистов быстро потеряла почти всех сторонников. Поражение в области геометрии привело к тому, что всё учение Демокрита было предано забвению как ошибочное. Сочинения атомистов почти перестали копировать и читать.

Атомистическая математика действительно не была достаточно строгой, поэтому против нее и ранее выдвигался целый ряд возражений, часть из которых оказывалось не так-то просто опровергнуть. Рассмотрим одно из таких. Предположим, что треугольник действительно состоит из множества приложенных друг к другу прямых. Пусть они будут параллельны одному из катетов. Тогда, каждая из этих прямых пересечет другой катет и гипотенузу в точке, причем ясно, что таких точек окажется равное число и на катете, и на гипотенузе. Но, поскольку прямые линии состоят из точек, то получается, что катет равен гипотенузе, а это абсурдно.

Теперь математикам идеалистического лагеря — пифагорейцам и примкнувшим к ним платоникам — потребовалось дать новый взгляд на геометрию, который в итоге оказался основополагающим на два следующих тысячелетия. Эта новая математика рождалась в ходе яростной борьбы с материализмом, поэтому изменился сам характер аргументации. Геометры V века до нашей эры видели в читателях своих соратников, с которыми можно было делиться мудростью в форме дружеской интеллектуальной беседы. Теперь же всё изменилось — читатель превратился в яростного противника, который готов ухватиться за любую неточность и обрушить на соперника жестокую критику. А потому авторы математических работ перестали делиться секретами своего мастерства и рассказывать о том, как им удалось получить ту или иную теорему. Требовалось лишь безукоризненно строго доказать, что предлагаемое решение является истинным.

Тут математикам как нельзя лучше подошли проверенные временем риторические приемы, которые греческие софисты разрабатывали для юридических целей. К этому моменту накопилось множество примеров эффектных судебных речей, где обвиняемый тщательно разбирал предполагаемую картину своего преступления, рассматривал ее со всех сторон и доказывал, что она в принципе невозможна, ибо каждое логическое следствие из неё приводит к противоречию, то есть — к абсурду.

Античные математики стали выстраивать аргументацию подобным же образом. Они выдвигали некоторый тезис, а затем начинали доказательство от противного: полагали данный тезис ложным и делали цепь логических выводов, которая приводила к невозможному следствию или противоречию с исходными данными — то есть сводили начальное допущение к абсурду. В результате не оставалось ничего иного, кроме как признать, что изначально выдвинутый тезис является верным.

В результате математика стала более строгой, но потеряла созидательную составляющую. Метод сведения к абсурду годился для проверки уже известных либо угаданных решений, но никак не помогал в нахождении новых истин. Боле того, со временем начали забываться даже старые способы получения уже существующих теорем, ведь в новых книгах они не рассматривались, а готовое решение давалось безо всякой связи с другими задачами.

Также под влиянием пифагорейцев и Платона из новой математики были изгнаны всякие прикладные вычисления и расчеты реальных длин, площадей и объемов. Все это стало уделом презираемого ремесла — логистики. Геометрия же превратилась в науку об отношениях (пропорциях), но не об измерениях.

Математика и музыка

Учение о пропорциях само по себе являлось достаточно мощным инструментом для познания мира. Важно было лишь найти ему верное применение. Так, судя по всему, первым физическим явлением, которое действительно серьезно изучили с математической стороны, оказалась музыка. В поздние времена эту заслугу стали приписывать Пифагору, но, вероятнее всего, исследования все же проводили его ученики и последователи. Они обратили внимание, что две одинаковые и равно натянутые струны лишь тогда издают совместное приятное звучание, когда их длины соотносятся как небольшие целые числа. Особенно, если отношения равны 1:2, 2:3 и 3:4. В первом случае, когда одна струна вдвое короче другой, обе они издают одну и ту же ноту в соседних октавах. В двух других случаях получаются различные, но гармонично звучащие ноты с интервалом соответственно в квинту или в кварту. Всё это, как говорят музыканты, идеальные созвучия — консонансы (или по-гречески «симфонии»). Если же длины струн имеют более сложные пропорции, либо вовсе не попадают в отношения целых чисел, то получаются менее приятные или даже резкие и режущие ухо звуки — диссонансы (диафонии). Кроме того оказалось, что консонансы достигаются в случаях, если одинаковые струны натягивать с помощью грузов, чьи веса соотносятся как квадраты небольших целых чисел.

Это было поразительное открытие: оказывается, естественные процессы (колебания струн) и ощущения прекрасного (реакция наших органов чувств) напрямую связаны с математикой. Сейчас мы понимаем, что дело тут в частоте колебаний каждой струны и совпадении обертонов, но пифагорейцы ничего из этого не знали. Суть рассматриваемого явления оставалась непонятной вплоть до XVII века, когда исследования французского священника и естествоиспытателя Марена Мерсена позволили, наконец, дать верное объяснение. Впрочем, всё это не помешало пифагорейцам уверовать в то, что вселенную можно описать математически. Такая, казалось бы, здравая идея, на деле получила весьма ограниченное воплощение — никто не считал нужным отыскивать