Текст Гиппократа по стилю уже напоминает Евклида: перед нами не философская беседа, а последовательное изложение со ссылками на чертеж и ранее доказанные положения. Из этих ссылок можно заключить, что в те времена уже было известно всё, что позже войдет в I и II книгу Евклида, а также частично в III, IV и VI книги, однако постулаты и аксиомы, от которых отталкивался Гиппократ, нам неизвестны. Тем не менее, он упоминает, что площади кругов относятся как квадраты диаметров, а этот факт тогда мог быть доказан лишь атомистическим способом.

Кроме того, Гиппократ занимался и проблемой удвоения куба, указав лишь, что она сводится к необходимости вставить между двумя отрезками, один из которых вдвое длиннее другого, еще двух таких отрезков, чтобы все они находились в непрерывной пропорции. В самом деле, если имеются два отрезка с длинами a и 2a, и мы сумеем найти такие x и y, что

то, следовательно, имеем

Разумеется, Гиппократ не смог получить точного ответа, однако сумел найти достаточно точное приближенное значение

Бесконечное приближение. Трисекция угла. Сложные кривые

Не менее интересными являются и математические достижения двух уже известных нам по предыдущим главам мыслителей-софистов второй половины V века до нашей эры: Антифона и Гиппия.

Так, Антифон, исходя из явно атомистических предпосылок, пытался определить площадь круга, для чего вписывал в него многоугольники, последовательно удваивая число их сторон. Данную процедуру следовало продолжать до тех пор, пока стороны многоугольника не уменьшатся до минимальных частиц, из которых состоит как прямая, так и окружность. Следующие поколения античных математиков разовьют этот подход до метода исчерпывания.

Эрудит Гиппий занимался задачей трисекции угла и, по-видимому, впервые вычертил по точкам «квадратрису». Это довольно интересная и необычная кривая, которая получается следующим образом. Пусть имеется квадрат ABCD, в котором вписана четверть дуги окружности. Точка E равномерно движется по этой дуге от D к B, а отрезок A’B’ равномерно опускается из положения DC в положение AB, причем оба этих движения начинаются и заканчиваются одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A’B’ и опишет квадратрису. Важным свойством данной кривой является то, что ординаты ее точек относятся как их полярные углы, так что с помощью данной линии легко разделить любой угол на необходимое число равных частей.

Конечно же, осуществить описанное построение с помощью лишь циркуля и линейки невозможно, поэтому предложенный Гиппием способ не являлся решением в античном смысле.

Позже было показано, что эту же кривую можно успешно использовать и для задачи о квадратуре круга, благодаря чему линия и получила свое название. Тем не менее, имелись серьезные возражения против ее использования. Во-первых, оказывалось невозможно построить точку G, ведь в самом конце радиус AE полностью совпадает с отрезком A’B’, поскольку они оба ложатся на AB, то есть — у них нет конкретной точки пересечения. Фактически для квадратрисы точка G является пределом, но у греков отсутствовало такое понятие. Во-вторых, само построение кривой являлось приближенным, ведь для точного согласования движений точки E и отрезка A’B’ требовалось заранее знать длину дуги окружности, что было невозможным до решения проблемы квадратуры круга.

Пифагорейская математика. Иррациональные числа

Начиная с IV века до нашей эры, ведущая роль в греческой математике перешла к последователям Пифагора. Далеко не все из них занимались геометрией, но главные открытия были сделаны представителями именно этой философской школы. Более поздние источники приписывают пифагорейцам доказательство того, что сумма углов треугольника равна двум прямым, а также построение додекаэдра (тетраэдр и куб люди знали издревле), создание музыкальной теории и связанного с ней учения о пропорциях.

Сегодня мы осуществляем преобразования пропорций без особого труда, но это удается нам благодаря удобной и наглядной алгебраической записи, которая является относительно новым изобретением. В античности действия с пропорциями осуществлялись устно без буквенных обозначений, что требовало огромной сосредоточенности и умения держать в голове большие объемы информации.

Попробуйте на досуге описать словами следующие правила

если a/b = c/d, то а/с = b/d;

если a/b = c/d, то b/a = d/c;

если a/b = c/d, то (a+b)/b = (c+d)/d;

если a/b = c/d, то (a-b)/b = (c-d)/d;

если а/b = c/d = e/f = g/h, то а/b = (а+с+е+g)/(b+d+f+h).

С помощью теории пропорций легко доказать теорему Пифагора, которая хоть и является самой знаменитой во всей планиметрии, но точная ее история неизвестна. Итак, рассмотрим треугольник ABС с прямым углом при вершине C.

Опустим перпендикуляр CP к гипотенузе AB. Теперь исходный треугольник разделен на два меньших прямоугольных треугольника APC и BPC, причем оба они подобны исходному. В самом деле, как легко видеть, все три угла у них одинаковы. Ну, а поскольку соответствующие стороны подобных треугольников всегда пропорциональны, то мы можем записать следующие пропорции

и

Отсюда следует, что AC² = AP·AB и BC² = PB·AB. Складывая два этих уравнения вместе, получаем AC² + BC² = (AP + PB)·AB = AB², что и требовалось доказать.

В «Началах» Евклида дается более сложное доказательство.

Но, пожалуй, самым важным открытием пифагорейцев оказались иррациональные числа, и прежде всего — доказательство иррациональности квадратного корня из двух. Важно помнить, что греки признавали и понимали только целые числа или целочисленные дроби. Фактически длина понималась как некоторое количество единичных отрезков. Дроби также мыслились с позиции соизмеримости. Так, например, если два отрезка находятся в отношении 3/5, то для греков это означало, что один из них состоит из трех единиц длины, а другой — из пяти. Открытие несоизмеримости буквально потрясло античных математиков, ведь оказалось, что за единичный эталон нельзя принять никакую, даже самую малую, длину. Обнаружение этого факта потребовало использования нового метода — доказательства от противного с последующим сведением к абсурду. Вот как это выглядело.

Из теоремы Пифагора получается, что если у квадрата длинна стороны равна 1, то длина диагонали будет равна квадратному корню из 2, который невозможно выразить целочисленной дробью. Действительно, предположим, что все же существуют такие целые числа p и q, что (p/q)2 = 2. Также предположим, что p и q являются наименьшими числами, для которых верно данное равенство.

Очевидно, что p² =