квадратное уравнение); книги VII–IX посвящены теоретической арифметике, причем затрагивают лишь натуральные числа; книга X рассматривает различные виды иррациональностей.

Книга XI посвящена основам стереометрии, а также тем телам, для вычисления объемов которых не требуется использовать предельный переход (то есть обращаться к математике атомистов). Поскольку для пирамиды, конуса и шара невозможно определить объемы (либо их отношения) без использования понятия бесконечно малых, то в XII книге Евклид решает эти задачи классическим методом исчерпывания: вписывает фигуры со всё увеличивающимся числом сторон, а затем сведением к абсурду показывает, что заранее известное ему решение является верным. Последняя XIII книга посвящена правильным Платоновым многогранникам.

Во всех тринадцати книгах «Начал» мы не встретим ни единого слова о практическом использовании геометрии или о прикладных приемах счета. Там опущены даже весьма популярные у греческих математиков вопросы квадратуры круга и отношения длинны окружности к ее диаметру, поскольку интерес к ним возник из практических вопросов измерения. Более того, Евклид отказывается от привычного тогда слова «тело», заменяя его новым и менее приземленным термином «твердая форма». Отсутствует и понятие наложения фигур, ведь оно предполагает движение. Также в «Началах» отсутствует понимание того, что одни фигуры являются просто предельными формами других: для Евклида треугольник не является многоугольником с тремя углами, а квадрат не считается параллелограммом, поэтому многие общие теоремы повторно доказываются для частных случаев.

Все эти признаки явно говорят нам о глубоком влиянии Платона и Аристотеля на мышление Евклида, и именно так далее станут думать почти все эллинистические геометры. Сами же «Начала» можно рассматривать как развернутое учение о построении пяти правильных многогранников, играющих важную роль в идеалистическом платоновском учении. Как мы помним, согласно диалогу «Тимей», они соответствуют четырем основным элементам и вселенной.

Практичные римляне проявляли мало интереса к теоретической геометрии, поэтому первый латинский перевод «Начал» появился лишь спустя несколько столетий — это так называемая «Геометрия» Боэция, который жил в V–VI веках нашей эры. Впрочем, сам перевод Боэцию не принадлежит и возможно был сделан намного позже. Восточные народы, напротив, оказались более предрасположены к абстрактным наукам, и после того как византийский император подарил арабскому халифу экземпляр книги Евклида, ученые из багдадского Дома мудрости сделали перевод на арабский язык, распространив его по всему исламскому миру.

Математические механизмы. Объемные места. Эратосфен

Безусловно, «Начала» являются вершиной античной математической мысли, но с их появлением греки, разумеется, не перестали делать новых открытий. Выше уже говорилось, о популярности ряда задач, которые хоть и не требовали недозволенного обращения к неделимым, но при этом не могли быть решены с помощью циркуля и линейки. Иными словами, решения этих задач не являлись корнями уравнений первой и второй степеней. Циркуль и линейка, как мы помним, оказались бессильны при рассмотрении проблемы удвоения куба, а также построения трисекции угла и квадратуры круга. Данные задачи потребовали создания новых более сложных инструментов и приспособлений.

Одним из таких математических механизмов стал изобретенный главой Александрийской библиотеки Эратосфеном прибор под названием мезолябия (улавливатель средних величин). Это достаточно простое, но одновременно хитроумное устройство состояло из трех одинаковых тонких прямоугольных пластинок с проведенной на них диагональю. Пластинки требовалось расположить одну поверх другой и выдвигать нижние из-под верхних. Для удобства можно было использовать специальные деревянные направляющие.

Мезолябия позволяла находить средние пропорциональные отрезки, и мы уже показали, что это автоматически давало решение задачи об удвоении куба. В самом деле, если сдвинуть пластинки так, чтобы точки B, K и M оказались на одной прямой, то легко показать, что

откуда после несложного преобразования получаем

Теперь, если мы сумеем подобрать такое положение пластинок, чтобы отрезок LX составлял ровно половину от AB, то, очевидно, получим GM3 = 2·LX3, то есть GM будет стороной удвоенного куба со стороной LX. Делосская задача решена!

Поиск этого решения долгое время интересовал честолюбивого Эратосфена. В юности он получил блестящее образование в Александрии и Афинах, а его выдающаяся энциклопедическая эрудиция способствовала тому, что в 245 году до нашей эры египетский царь Птолемей III Эвергет пригласил ученого к своему двору. Через несколько лет Эратосфен стал руководителем Александрийской библиотеки и занялся ее активным развитием. Новые тексты не только приобретались за огромные деньги, но и силой изымались для переписывания с приходящих в порт кораблей (обратно на руки выдавалась не оригинальная рукопись, а сделанная с нее копия). Отдельная группа специалистов изучала исключительно поэмы Гомера, сличая и трактуя каждое слово и каждую букву в различных вариантах записанных текстов.

Одновременно с этим Эратосфен не прекращал исследований по астрономии и математике. Сконструировав мезолябию и убедившись в правильности своего решения, он поставил благодарственный мраморный столб в храме высшего придворного божества (им являлся основатель династии Птолемей I), а также подробно изложил свое открытие в письме к Птолемею III, которое сохранилось вплоть до наших дней.

О других же математических сочинениях Эратосфена осталось крайне мало информации: в полном объеме известен лишь небольшой отрывок, где дается простейший способ составления таблицы простых чисел (известное нам еще со школы «решето»). Об остальных текстах ученого мы знаем по упоминаниям, и можем восстановить их содержание только косвенно. Так, произведение «Платоник» было посвящено пропорциям, гармонии и музыке, занимавшим огромное место в учении самого Платона, полагавшего, будто эти вещи учат людей пониманию превосходства геометрического равенства (когда права соответствуют достоинству человека) над арифметическим (когда у всех одинаковые права).

Также именно со слов Эратосфена известно, что Платон не признавал метод объемных мест, когда решения задач отыскиваются с помощью пересечения трехмерных тел. Подобный подход низводил математику к бренному чувственному миру, вместо того, чтобы возвышать наш разум до общения с вечным и бестелесными идеями. Эта авторитетная точка зрения надолго укрепилась в эллинских умах, и сам Эратосфен, похоже, полностью ее разделял. Именно поэтому вместо конических сечений он предлагал компромиссный вариант — подвижные механизмы, при использовании которых вполне можно было обходиться построением лишь прямых и окружностей. В таком случае точки пересечения кривых второго порядка отыскивались завуалированным образом, не требующим прибегать непосредственно к построению эллипсов, парабол или гипербол. Данный метод был известен грекам задолго до Эратосфена, который в лучшем случае оказался первым, кто действительно начал конструировать и реально использовать такого рода устройства. Впрочем, всякое движение также не одобрялось Платоном, поэтому механические приборы считались нежелательными и допускались лишь только, если иные способы не давали решения.

Самый простой геометрический