Если же распределение колебаний по их величине далеко от нормального, а закон распределения вообще неизвестен, приближенную оценку вероятностей риска возникновения больших отклонений от тренда можно получить на основе эмпирических частостей таких отклонений. Для этого, конечно, необходим достаточно длинный временной ряд. Нельзя на основе данных за 5–6 лет предсказывать вероятность отклонения, случающегося в среднем раз в 20–25 лет. Методику эмпирической оценки возможности крупных отклонений покажем на условном примере, приведенном в табл. 7.6.

Средняя ошибка репрезентативности выборочной доли (частости), как известно, равна:

Вычислив средние ошибки всех частостей, умножаем их на 2 и получаем вероятные ошибки приблизительно с вероятностью 0,95 или на 3 и тогда получаем приблизительно с вероятностью 0,995. Так как распределение не является нормальным, лучше для гарантии взять трехкратную среднюю ошибку частости и сделать вывод о возможной частости отклонения от тренда на указанный процент по величине этой частости плюс трехкратная средняя ошибка.

Таким образом, крайне маловероятно, что отклонение вниз от тренда более чем на 20 % встретится чаще, чем 16 раз за 100 рассматриваемых периодов (это могут быть и годы, и месяцы, и другие отрезки времени в исходном ряду). Вероятность отклонения от тренда вверх более чем на 30 %, наверняка, не превысит 0,12, или 12 раз за 100 интервалов времени. Напомним, что расчет этот сделан с большим запасом осторожности ввиду неизвестности закона распределения и не очень большого объема выборки (числа уровней в исходном ряду).

В заключение рассмотрим задачу о сравнении двух значений показателей колеблемости, которая тоже требует вероятностной оценки. Задача связана с мониторингом колебаний; при этом весьма важно следить за тем, чтобы прогресс агротехники приводил к уменьшению величины колебаний хотя бы той же урожайности. Для того чтобы определить, надежно ли изменение величины S(t) в сравнении с прошлым периодом (например, десятилетием), нужно проверить нулевую гипотезу о случайном различии величин S(t)0 — базисного периода и S(t)1— текущего периода. Для решения задачи о различии двух или более дисперсий (т. е. S(t)2) применяется критерий Бартлетта. Он основан на том, что если сравниваемые величины равны, то их арифметическая средняя (взвешенная или простая) равна их геометрической средней, а если величины различаются, то чем больше они различаются, тем больше и различие между арифметической и геометрической средними.

Взвешенная арифметическая средняя дисперсия равна:

где k — число дисперсий;

ni — их веса, число уровней в подпериодах.

Взвешенная геометрическая средняя:

Критерий Бартлетта имеет вид:

его средняя ошибка:

Отношение М/С имеет распределение χ (хи-квадрат) с числом степеней свободы k — 1.

При сравнении двух дисперсий и равном числе уровней в каждом подпериоде (средние будут невзвешенные) формулы упрощаются:

Например, сравним силу колебаний урожайности зерновых культур во Франции (см. гл. 5 и 6) за первые 11 лет (1970–1980 гг.) и за последние 11 лет (1985–1995 гг.):

S(t)70–80 = √[(180,96/(11 — 1)] = 4,254 ц/га;

S(t)80–95 = √[(71,04/(11 — 1)] = 2,665 ц/га;

Соответственно дисперсии равны:

S2(t)70–82 = 18,1; S2(t)85–95 = 7,1;

их арифметическая средняя равна:

S2арифм = 12,6

а их геометрическая средняя:

S2геом = √(18,1–7,1) = 11,34;

M = 2∙ln (12,6/11,34)∙22 = 4,636;

C = 1 + [(1/11) — (1/22)]/3 = 1,015.

М/С = 4,57. Табличное значение критерия % при одной степени свободы и значимости 0,05 составляет 3,84. Фактическое значение 4,57 больше табличного, следовательно, можно считать, что колеблемость в последние 11 лет ниже, чем в первые 11 лет изучавшегося периода, т. е. колеблемость урожайности зерновых во Франции уменьшилась.

Глава 8. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УРОВНЕЙ РЯДА И ТРЕНДА

Устойчивость временного ряда — понятие многоплановое. Его следует рассматривать с двух позиций:

• устойчивости уровней временного ряда;

• устойчивости тенденции (тренда).

Вопрос определения понятия устойчивости невозможно решить без статистической теории динамического ряда, разработанной известными статистиками А.М. Обуховым, Н.С. Четвериковым, Альб. Л. Вайнштейном, С. П. Бобровым, Б. С. Ястремским. Согласно этой теории статистический показатель содержит в себе элементы необходимого и случайного. Необходимость проявляется в форме тенденции динамического ряда, случайность — в форме колебаний уровней относительно кривой, выражающей тенденцию. Тенденцией характеризуется процесс эволюции. В явном виде невозможно видеть все причины, порождающие тенденцию (тренд). Полное разделение элементов случайного и необходимого существует только в виде научной абстракции.

Расчленение динамического ряда на составляющие элементы — условный описательный прием. Тем не менее, несмотря на взаимозависимость тенденции и колеблемости, решающим фактором, обусловливающим тенденцию, является целенаправленная деятельность человека, а главной причиной колеблемости — изменение условий жизнедеятельности. Исходя из вышеизложенного можно отметить следующее. Устойчивость не означает обязательное повторение одинакового уровня из года в год; такое понимание устойчивости приравнивало бы ее к застойному состоянию изучаемого явления. Слишком узким и жестким было бы понятие устойчивости ряда — как полное отсутствие в динамическом ряду всяких колебаний, так как полностью устранить влияние случайных факторов на показатель невозможно. Сокращение колебаний уровней ряда — одна из главных задач при повышении устойчивости, но этим она не исчерпывается, необходимо развитие явления. Отсюда и следует, что устойчивость временного ряда — понятие не простое, а многоплановое.

Устойчивость временного ряда — это наличие необходимой тенденции изучаемого статистического показателя с минимальным влиянием на него неблагоприятных условий.

Из этого вытекают основные требования устойчивости:

• минимизация колебаний уровней временного ряда;

• наличие определенной, необходимой для общества тенденции изменения.

Устойчивость временного ряда можно оценивать на различных явлениях. При

этом в зависимости от явления будут меняться показатели, которые используются в качестве форм выражения существа исследуемого процесса, но содержание понятия устойчивость будет оставаться неизменным.

8.1. Методы измерения устойчивости уровней ряда

Наиболее простым, аналогичным размаху вариации при измерении устойчивости уровней временного ряда, является размах колеблемости средних уровней за благоприятные и неблагоприятные, в отношении к изучаемому явлению, периоды времени:

RY^ = У‾благ — У‾неблаг (8.1)

Причем к благоприятным периодам времени относятся все периоды с уровнями выше тренда, к неблагоприятным — ниже тренда (однако, например, при изучении динамики производительности труда если это трудоемкость, то все должно быть наоборот).

Отношение средних уровней за благоприятные периоды времени к средним уровням за неблагоприятные У‾благ/У‾неблаг также может служить показателем устойчивости уровней. Чем ближе отношение