и функции: ведь последовательность – это не что иное, как функция, определённая на натуральном ряду. Мы не включали понятия множества, функции и натурального числа в наши списки исходных, неопределяемых понятий на том основании, что относили их к тому языку, на котором мы разговариваем. Точнее сказать, к логике этого языка. Однако пользование логикой – а лучше сказать, тем, что мы считаем логикой, – языка без каких-либо ограничений приводит к парадоксам. Удивляться этому особенно не приходится, потому что логика языка возникла и развивалась исходя прежде всего из бытовой практики, а потом уже её стали не вполне законно применять к сложным математическим образованиям.

Мы оказали бы дурную услугу читателю, призвав его усомниться в существовании натуральных чисел. Но всё же полезно задуматься над тем, чтó значит, что существует какое-нибудь очень большое число: например, число, превосходящее количество элементарных частиц в видимой Вселенной. А существование натурального ряда – т. е. совокупности всех натуральных чисел – вызывает ещё больше непростых философских вопросов.

Можно потребовать, чтобы и такие фундаментальные понятия математики, как понятия множества и натурального числа, определялись аксиоматически. Однако задача аксиоматического определения фундаментальных понятий таит в себе ловушки и опасности. Это уже совершенно другая и более сложная тема, относящаяся к компетенции математической логики.

Простейшие примеры математических доказательств

§ 1. Математика и доказательства

Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-нибудь другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, по астрономии или по мостостроению. Дело в том, что в любой серьёзной книге по математике непременно присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств – вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

Первую попытку охватить единым трактатом всю математику предпринял древнегреческий математик Евклид в III в. до н. э. В результате появились знаменитые «Начала» Евклида. А вторая попытка состоялась только в XX в. н. э., и решился на неё французский математик Николя Бурбаки[137], в 1939 г. приступивший к изданию многотомного трактата «Начала математики». Вот какой фразой открывает Бурбаки свой трактат: «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"».

Таким образом, эти два слова – «математика» и «доказательство» – объявляются почти синонимами.

Казалось бы, можно возразить, что доказательства встречаются и в других сферах, например в юриспруденции. Так, в суде каждая из сторон предъявляет свои доказательства (причём доказательства одной стороны нередко противоречат доказательствам другой стороны). Однако все согласны, что математические доказательства гораздо убедительнее тех, которые оглашаются в судах.

Доказательства, собственно, встречаются во всех науках, даже гуманитарных. Приведу два примера: первый – из исторической науки, второй – из филологии.

Первые шаги в науке великого российского математика Андрея Николаевича Колмогорова были сделаны не в математике, а в истории и относились к истории Новгородской земли в XV в.[138]

Колмогоровские разыскания содержали в числе прочего ответ на вопрос, как брался налог с селений Новгородской земли – с селения в целом или же с каждого его двора. Опровергая господствующее мнение, Колмогоров доказал, что налог брался с селения в целом. Доказательство состояло в том, что в противном случае правило налогообложения было бы чересчур сложным. Проведённый Колмогоровым анализ новгородских писцовых книг, в которых наряду с другими сведениями записывались сведения о налогообложении, привёл к следующим результатам. Налог с больших селений всегда брался в целых единицах, к тому же в большинстве случаев в круглых цифрах, налог со средних селений брался в основном также в целых единицах. Налог с небольших селений мог составлять как целое, так и дробное число налоговых единиц, но это дробное число всегда имело вид целого числа с половиной. Более того, во многих случаях, когда налог с небольших селений брался в целых единицах, дворов в селении оказывалось больше, чем налоговых единиц, взимаемых с селения. Кажется невероятным, чтобы налог был подворным и его ставки были столь хитроумны, чтобы достигнуть таких числовых эффектов!

Теперь пример из филологии. Долгое время предметом ожесточённых спекуляций служил вопрос о подлинности «Слова о полку Игореве», т. е. о том, создано ли оно в XII–XIV вв., что и означает подлинность, или же является позднейшей подделкой, относящейся, скорее всего, к XVIII в. Андрей Анатольевич Зализняк доказал подлинность «Слова». Доказательство опирается на анализ раскрытых Зализняком тончайших закономерностей древнерусского языка. Невероятно, чтобы мог существовать такой фальсификатор, который не только знал бы эти закономерности, иные из коих были обнаружены лишь недавно, но и скрыл своё знание от современников! (Это при том, что, как известно, незнание можно скрыть, знание скрыть невозможно.)

В обоих наших примерах о доказательствах в гуманитарных науках мы употребили слово «невероятно», а не слово «невозможно». Дело в том, что в обоих случаях всё-таки остаётся некоторая, пусть весьма малая, вероятность того, что в действительности налог был подворным, а «Слово» – подделкой. Требуется ли ещё уменьшать эту вероятность? На мой взгляд, в приведённых примерах не требуется, но этот взгляд субъективен. И если кто-нибудь потребует сделать вероятность опровержения открытий, сделанных Колмогоровым и Зализняком, ещё ничтожнее, против этого будет трудно возразить. Вот, например, как реагировал на сообщение Колмогорова известный историк С. В. Бахрушин, когда работа была доложена на занятиях руководимого им семинара в Московском университете. Пишет известный археолог, руководитель Новгородской археологической экспедиции В. Л. Янин:

Когда работа была доложена им [Колмогоровым] в семинаре, руководитель семинара профессор С. В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как «в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами» (!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: «И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства». История потеряла гениального исследователя, математика навсегда приобрела его.

Думается, позиция Бахрушина имеет следующее объяснение. Он привык к тому, что обычно применяемые в исторической науке доказательства допускают, каждое в отдельности, ощутимую вероятность того, что доказанное утверждение не соответствует действительности, а посему для уменьшения этой вероятности требуется несколько доказательств. Возможно, он впервые услышал доказательство, которое одно уже делало указанную вероятность пренебрежимо малой, – услышал, но не осознал.

Вернёмся, однако, к математике. Математические доказательства повсеместно признаются эталоном бесспорности. Выражения вроде «я тебе докажу математически», встречающиеся в русской классической литературе, касаются доказательств, которые нельзя оспорить.

Но что же такое доказательство? Доказательство – это рассуждение, которое убеждает того, кто его воспринял,