пункте: считать ли ноль натуральным числом? В школьных учебниках понятие натурального числа обычно выводят из пересчёта предметов, и потому натуральный ряд начинают с единицы. Но можно понимать натуральное число и как количество элементов какого-либо конечного множества. Поскольку одним из конечных множеств является пустое множество, вовсе не содержащее никаких элементов (например, множество ныне живущих динозавров), а количество элементов пустого множества есть ноль, то – при этом втором понимании – и наименьшее натуральное число есть ноль. При первом понимании понятие натурального числа совпадает с понятием целого положительного числа, при втором – с понятием целого неотрицательного числа. Подчеркнём, что каждое из указанных двух понятий имеет совершенно точное, недвусмысленное содержание, а двусмысленность заключается в терминологии, поскольку каждое претендует на то, чтобы его называли «натуральным числом». Дабы избежать неясностей, первое понятие можно было бы называть считательным натуральным числом, а второе – количественным натуральным числом.

Натуральный ряд – это, по определению, множество всех натуральных чисел. Сообразно сказанному есть два понятия натурального ряда: одно из них предполагает, что натуральный ряд начинается с ноля, другое – что с единицы.

Каждая из двух точек зрения на то, чтó понимать под терминами «натуральное число» и «натуральный ряд», имеет свои преимущества. Которую из них выбрать – дело вкуса. Но какую-то надо выбрать обязательно. Потому что невозможно ни говорить о доказательствах, ни тем более доказывать что-нибудь, не договорившись о значениях терминов. Чтобы не слишком уклоняться от школьной терминологии, мы будем начинать натуральный ряд с единицы. Впрочем, в некоторых из приводимых ниже примеров на тему индукции удобнее относить к натуральным числам и ноль. Желающих начинать натуральный ряд с ноля призываем слегка переделать последующее изложение метода индукции, а именно: в базисе индукции надо положить n = 0 вместо n = 1.

Теперь о слове «равно». Основное значение этого термина в математике таково: говорят, что два предмета равны, если они совпадают. Именно этот смысл вкладывается и в выражающий равенство символ =. Когда, например, пишут 3 + 5 = 8, то эту запись понимают как выражающую такое утверждение: предмет, обозначенный символом 3 + 5, совпадает с предметом, обозначенным символом 8. Казалось бы, никакое иное понимание и невозможно. К сожалению, возможно, и оно хорошо известно читателю. Это иное понимание появляется в школьном курсе геометрии. Там равными фигурами называют такие, которые могут и различаться, но совпадут после того, как одна из них путём перемещения будет совмещена с другой. Именно так понимается, скажем, равенство отрезков AB и EF или треугольников ABC и EFG. И эти равенства записывают в виде AB = EF и Δ АВС = Δ EFG, так что смысл знака = здесь не тот, какой был указан выше.

Более грамотно было бы называть фигуры, совпадающие при совмещении, конгруэнтными и использовать для записи конгруэнтности не знак равенства =, а некоторый специальный знак, например ≅. Однако, чтобы не усложнять изложения, мы не будем употреблять ни термина «конгруэнтный», ни знака ≅, а удовольствуемся школьной традицией (не такой уж, впрочем, и устойчивой, поскольку одно время в советских школах использовался именно термин «конгруэнтный»).

Итак, запись АВ = EF вовсе не означает (а должна бы!), что отрезки AB и EF совпадают. Но что-то всё же совпадает, а именно: их, отрезков, длины. Под психологическим давлением этого обстоятельства и длину отрезка AB нередко обозначают точно так же, как и сам отрезок, т. е. посредством символа AB. И можно встретить такую запись известного неравенства, связывающего стороны треугольника: АС < АВ + ВС. Но это уже не лезет ни в какие ворота, и в этом очерке длина отрезка AB будет обозначаться так, как ей и положено: |AB|.

§ 3. Доказательства методом перебора

Пример 1. Доказать, что среди целых неотрицательных чисел, меньших числа 420, нет других корней уравнения (x + 2008) (x – 3) (x – 216) (x – 548) = 0, кроме чисел 3 и 216.

Доказательство: Последовательно перебирая числа 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, …, 213, 214, 215, 217, 218, 219, …, 417, 418, 419 и подставляя их в уравнение, убеждаемся, что ни одно из них не обращает в ноль левую часть. Это есть типичное доказательство методом перебора.

«Зачем же поступать так странно?!» – возмутится читатель. Ведь достаточно опереться на следующее свойство произведения: если произведение равно нолю, то непременно равен нолю хотя бы один из сомножителей; действительно, из указанного свойства вытекает, что если число является корнем нашего уравнения, то оно есть либо 2008, либо 3, либо 216, либо 548, а из этих четырёх чисел только 3 и 216 одновременно неотрицательны и меньше, чем 420. Читатель совершенно прав: его доказательство короче. Однако мы призываем читателя осознать тот факт, что предложенное нами доказательство совершенно убедительно, а значит, совершенно безупречно. Кроме того, наше доказательство хотя и длиннее, но в определённом смысле проще: ведь оно не предполагает использования указанного выше свойства произведения. Представьте себе, что это свойство кому-либо неизвестно; тогда этот «кто-либо» поймёт наше доказательство, но не поймёт доказательства читателя. Мы преследовали и ещё одну, практическую, цель: приучить читателя не бояться доказательств методом перебора. Ведь хотя доказательство методом перебора может потребовать намного больше времени, чем какое-нибудь хитроумное короткое доказательство, поиск последнего способен затянуться надолго…

Пример 2. Доказать, что среди трёхзначных чисел нет числа, делящегося одновременно на 7, 11 и 13.

Школьник младших классов, знакомый лишь с делением, может справиться с этой задачей, перебрав и испробовав все 900 трёхзначных чисел. Школьник старших классов знает (точнее, должен знать), что среди натуральных чисел выделяются простые числа и что простым называется всякое натуральное число, которое, во-первых, больше единицы и, во-вторых, делится только на 1 и на само себя. Так что числа 7, 11 и 13 – простые. А ежели школьник ещё более образован, то он знает, что число, делящееся на каждое из нескольких простых чисел, обязано делиться и на их произведение. Произведение 7 × 11 × 13 равно 1001. Но никакое трёхзначное число не может делиться на 1001.

Пример 3. Представим себе, что мы выдвинули такую гипотезу: уравнение x4 + y4 = z2 не имеет решения в области целых положительных чисел, не превосходящих числа 100.

В действительности указанное уравнение не имеет решения ни в каких целых положительных числах, так что наша гипотеза верна. Доказательство теоремы о неразрешимости нашего уравнения в целых положительных числах вполне элементарно (это не значит, что до него