эти понятия означают. Но как можно составить представление о том или ином понятии? Есть два основных способа, один из которых мы условно назовём наглядным, а другой, столь же условно, – дефиниционным (от лат. definitio – определение).

При наглядном способе понятие усваивается на примерах, при дефиниционном – с помощью определений. Скажем, усвоение понятий 'стол' и 'корова' происходит на основе того, что человеку показывают достаточное количество столов и коров. Таким же наглядным способом могут усваиваться и понятия, выражающие свойства, такие, например, как 'металлический' или 'фиолетовый': для этого нужно предъявить достаточное количество металлических предметов и предметов фиолетовой окраски. Аналогичным образом человек обучается понятиям, выражающим положение в пространстве одних предметов относительно других, таких как 'слева от', 'справа от', 'спереди', 'сзади', 'над', 'под', 'на', 'в', 'между' и т. п.

А вот представление о понятиях «металлический стол» или «фиолетовая корова» можно получить и не прибегая к примерам (в случае «фиолетовой коровы» это было бы и затруднительно). Здесь годится способ дефиниционный. Понятия 'металлический стол' и 'фиолетовая корова' можно не показать, а определить: металлический стол – это такой стол, который является металлическим; фиолетовая корова – это такая корова, которая является фиолетовой.

Наглядным способом осуществляется и первое знакомство с такими математическими понятиями, как, скажем, «шар» или «прямая». Однако здесь надо проявить осторожность и понимать, что арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч – в меньшей степени шар, чем бильярдный шар или шарик подшипника, ведь, строго говоря, геометрических шаров в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком, – все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Отметим, что в трактате Евклида термин «прямая» обозначает не всю бесконечную прямую линию, а именно отрезок. Представление о бесконечности было, по-видимому, чуждо античной математике, да и всему античному мировоззрению. Представление о бесконечном следует отличать от представления о неограниченно продолжаемом; для ясности бесконечное часто называют в этом противопоставлении актуально бесконечным, а неограниченно продолжаемое – потенциально бесконечным. Разумеется, древние понимали, что, сколько раз ни откладывай отрезок в одну и ту же сторону, его можно будет отложить в ту же сторону ещё раз – это и есть пример неограниченной продолжаемости (она же потенциальная бесконечность). Актуальная же бесконечность в данном случае означает разрешение рассматривать всю прямую целиком, т. е. как объект, который возникнет после завершённого (а в реальности ни в какой момент не завершающегося!) процесса прикладывания отрезков друг к другу[136].

Итак, для того, чтобы получить представление о бесконечной прямой, одного только наглядного способа недостаточно – требуется ещё воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, который населён этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (как говорят философы, является отражением реального мира).

Таким образом, к геометрическим понятиям наглядный способ применим лишь с оговорками. Посмотрим, как работает дефиниционный способ. Возьмём для примера понятие угла. Можно объяснять это понятие, демонстрируя конкретные углы, т. е. применяя наглядный способ. А можно воспользоваться способом дефиниционным, т. е. попытаться определить, что такое угол. Вот определение: угол есть совокупность (другими словами, множество) двух лучей, исходящих из одной и той же точки О. Но тогда надо знать, что такое 'луч, исходящий из точки О'. Это понятие, в свою очередь, определяется как множество, состоящее из самой этой точки О и всех точек, расположенных по одну и ту же сторону от этой точки. Но что значит, что две точки лежат 'по одну и ту же сторону' от точки O? Это значит, что эти две точки и точка О лежат на одной и той же прямой, причём так, что точка О не находится между этими двумя точками. Но тогда мы должны сперва установить, что означает, что точки 'лежат' на прямой и одна точка находится 'между' двумя другими.

Итак, при дефиниционном способе одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но ведь мы не можем продолжать этот процесс бесконечно. А значит, на каких-то геометрических понятиях мы вынуждены остановиться и далее их не определять. Эти понятия, которые уже не имеют определения, называют неопределяемыми, или исходными. Но если исходные понятия не могут быть определены, то, спрашивается, откуда же мы можем знать, что они означают? Казалось бы, ответ очевиден: мы должны использовать наглядный способ и познать эти понятия из непосредственного опыта, иными словами, усвоить их на примерах. Однако несколькими строками выше было отмечено, что примеры хотя и подводят нас к представлению о том или ином геометрическом понятии, но лишь до некоторой степени. А математика – наука точная, приблизительность ей не к лицу, и математик должен совершенно точно знать, каким именно понятием он оперирует. Вроде бы возник тупик. Аксиоматический метод как раз и предлагает выход из этого тупика.

Чтобы понять, что это за выход, ещё раз осмыслим встающую перед нами проблему. Мы хотим рассуждать о некоторых понятиях, причём рассуждать совершенно точно. Но точности наших рассуждений мешает то обстоятельство, что эти понятия не имеют определений. Тогда поступим так. Попытаемся выписать основные свойства этих понятий, а именно те свойства, на которые будем опираться в наших рассуждениях. Дадим себе обещание не использовать в рассуждениях никаких иных свойств, кроме тех, которые внесены нами в список основных свойств. Каждый отдельный элемент списка, в котором фиксированы какие-то определённые свойства рассматриваемых понятий, будем называть аксиомой, сам же список – системой аксиом. Рассуждения же, которые не опираются ни на какие свойства понятий, кроме явно указанных в аксиомах, и есть те самые чисто логические рассуждения, которые упоминались в начале § 1.

Очевидно, что построению системы аксиом должно предшествовать составление перечня исходных, или неопределяемых, понятий. Надо подчеркнуть, что составление такого перечня во многих чертах произвольно и зависит от вкуса составителя. Например, можно взять за исходное понятие отрезка (как это, по существу, и делает Евклид) и с его помощью определять понятие прямой, а можно, напротив, взять за исходное понятие прямой (как это и делается в большинстве современных аксиоматических систем), а через него уже определять понятие отрезка. Говоря о трёх точках О, А,