настолько, что он готов убеждать других с помощью этого же рассуждения. Так понимается доказательство всюду: и в истории, и в филологии, и в математике. Во избежание недоразумений и возможного возмущения просвещённых читателей (если таковые найдутся среди читающих этот текст) отметим: есть и другое понимание того, что такое доказательство. По Бурбаки, например, доказательство – это цепочка символов, организованная по определённым правилам. Мы обсудим это другое понимание в заключительном разделе нашего очерка. Полагаем, однако, что наше понимание не является чем-то оригинальным, а отражает то стандартное употребление слова «доказательство», которое имеет место и в средней, и в высшей школе. Те математические объекты, которые именует доказательствами Бурбаки, разумно называть формальными доказательствами, в отличие от содержательных, психологических доказательств, о которых мы здесь говорим. Формальные доказательства составляют предмет изучения математической логики. Заметим ещё, что, на наш взгляд, и Бурбаки не может избежать содержательных доказательств, ведь чтобы убедиться, что данная цепочка символов является формальным доказательством, требуется провести содержательное рассуждение, т. е. именно психологическое доказательство.

Отличие математического доказательства от доказательств в других науках состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематические доказательства имеют разные «амбиции». Нематематические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятностью, а предположение, что это утверждение ложно, невероятно. Математические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, а предположение, что это утверждение ложно, невозможно. Так, уже отмечалось, что в приведённых выше примерах из истории и филологии оставалась возможность, пусть совершенно невероятная, что доказываемое утверждение ложно. И даже демонстрация нескольких доказательств, как того требовал Бахрушин, всего лишь повысила бы степень невероятности, но не превратила бы её в невозможность. В математических же доказательствах невероятность противоположного эффекта, т. е. допущения того, что доказанное утверждение неверно, заменяется на невозможность. Поэтому убедительность математических доказательств должна быть абсолютной, не оставляющей никакой возможности для противоположного суждения.

Предвидим протест или по меньшей мере удивление некоторых читателей. Как же так? Такое важное математическое понятие, как «доказательство», имеет столь нечёткое определение, да и вообще не определение, а описание, пояснение. На это у нас два возражения. Во-первых, даже в математике всё определить невозможно, ведь одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но и этот процесс не может продолжаться бесконечно. Поэтому мы вынуждены где-то остановиться. Во-вторых, понятие доказательства не есть математическое понятие (подобное, скажем, понятию действительного числа или понятию многоугольника); по отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее; оно принадлежит не математике, а психологии (и отчасти лингвистике). Однако невозможно представить себе современную математику без повсеместного использования этого понятия.

Можно ли предложить разумную классификацию всевозможных доказательств, т. е. убедительных рассуждений? Вряд ли. Тем более что доказательство, как правило, состоит из нескольких (иногда очень многих) этапов, и на каждом этапе применяется свой способ убеждения. Можно, однако, среди схем доказательства выделить несколько часто повторяющихся; ниже некоторые из таких схем будут изложены.

Чтобы не дезориентировать читателя, сделаем два предупреждения.

Предупреждение первое. Было бы глубоким заблуждением считать, что других методов доказательства не бывает. Да и само выделение схем достаточно условно. Ведь нередко бывает, что одна схема вклинивается в другую; скажем, внутри доказательства по индукции может встретиться доказательство от противного, и наоборот.

Предупреждение второе. Ниже будут приведены примеры лишь очень простых и коротких доказательств. Между тем многие математические доказательства и гораздо сложнее, и гораздо длиннее, они могут занимать десятки, сотни и даже тысячи страниц. Поясним, откуда берутся эти тысячи. Дело в том, что каждое доказательство опирается на какие-то факты, и, если включить в него и полные доказательства всех этих фактов, тут-то и могут потребоваться тысячи страниц.

§ 2. О точности и однозначности математических терминов

Но прежде чем продолжить разговор о доказательствах, необходимо сказать несколько слов о математической терминологии.

Убедительность математических доказательств поддерживается отчётливостью, недвусмысленностью математических утверждений. Когда, например, говорят, что один общественный строй более прогрессивен, чем другой, то не вполне ясно, что в точности это означает. А вот когда говорят, что две прямые пересекаются, то каждому однозначно понятен смысл этих слов.

Для того чтобы математические суждения воспринимались как точные и недвусмысленные, необходимо прежде всего, чтобы таковыми были те понятия, которые в этих суждениях используются. Суждения облекаются в словесную форму в виде предложений, а понятия – в виде терминов. Таким образом, каждый термин должен иметь, во-первых, точно очерченный смысл. Во-вторых, смысл должен быть только один. Что же в действительности происходит с математическими терминами?

Надо признать, что смысловая точность реально достигается лишь в профессиональных, высокоучёных математических текстах, в повседневной же практике – отнюдь не всегда. Чем точнее очерчен смысл термина, тем убедительнее использующие этот термин доказательства. Однозначности терминов также, к сожалению, не наблюдается. Возьмём, к примеру, такой распространённый термин, как «многоугольник». Его понимают по-разному: и как любую замкнутую ломаную, и как самонепересекающуюся замкнутую ломаную (и то и другое ещё надо определять!), и как часть плоскости, ограниченную ломаной. Если вдуматься, то выражение «часть плоскости, ограниченная ломаной» нуждается в разъяснении, а тот факт, что такая часть существует, – ещё и в доказательстве, каковое оказывается довольно непростым (сам этот факт представляет собой частный случай так называемой теоремы Жордана, касающейся не только ломаных, но и замкнутых линий вообще). Тем не менее именно в таком, достаточно наглядном и потому оставляемом без разъяснения смысле термин «многоугольник» понимается в настоящем очерке (а потому все излагаемые здесь рассуждения о многоугольниках убедительны лишь постольку, поскольку ясен смысл термина).

Или термин «угол». Вот несколько различных значений этого термина:

(1) 'два луча, исходящих из одной точки';

(2) 'угол в значении (1) плюс одна из двух частей, на которые им разбивается плоскость';

(3) 'поворот луча';

(4) 'мера угла в значении (1)' (так понимают этот термин, когда говорят о сумме углов треугольника или произвольного выпуклого многоугольника);

(5)'мера угла в значении (2)' (так понимают этот термин, когда говорят о сумме углов произвольного многоугольника, не обязательно выпуклого);

(6) 'мера угла в значении (3)' (так понимают этот термин, когда говорят об отрицательных углах и об углах, бóльших или равных 360°).

Заметим, что отнесение к углу как геометрической фигуре его меры как числа представляет собою с позиций Высокой Науки довольно сложную процедуру.

В дальнейшем изложении встретятся три важных неоднозначных термина. Это термины «натуральное число», «натуральный ряд» и «равно».

Возможны два понимания того, что такое натуральное число, отличающиеся друг от друга в одном