(причем не только наружную поверхность, но и все внутренние точки фигуры). Двигая другой многоугольник или кривую вокруг первого, мы точно таким же образом получим вторую фигуру в форме кольца. Эти две кольцеобразные фигуры плотно примыкают друг к другу и образуют границу гипертела, внутри которой заключена конечная часть четырехмерного пространства. Такое гипертело можно назвать двойной призмой, призмоцилиндром или двойным цилиндром в зависимости от того, что мы выбрали вначале: два многоугольника, многоугольник и кривую или две кривые. Если плоскости двух производящих многоугольников абсолютно перпендикулярны, то мы получим прямую двойную призму. Аналогично можно получить и прямые фигуры остальных двух типов.

Если любую часть границы отделить от остальной и провести разрез вдоль одного из производящих элементов, то оставшаяся часть границы развернется в одном 3-пространстве, аналогичном нашему трехмерному пространству. Если плоскости двух производящих элементов абсолютно перпендикулярны, то каждая часть границы при развертывании в 3-пространстве превращается в прямую призму или в прямой цилиндр. В этом случае исходные фигуры можно описать иначе. Например, для того чтобы построить прямую двойную призму, достаточно взять две прямые призмы, выбрав их так, чтобы высота каждой из них совпадала с периметром другой призмы. Перегнув их относительно друг друга, мы можем совместить все соответствующие грани и получить трехмерное тело, внутри которого будет заключена конечная часть четырехмерного пространства. Аналогично можно построить прямой призмоцилиндр или прямой двойной цилиндр, взяв в одном случае призму и цилиндр, а в другом два цилиндра.

Если при построении двойного цилиндра мы возьмем два круговых цилиндра, то получившееся гипертело можно назвать цилиндром двойного вращения. Такой цилиндр будет вращаться двумя независимыми способами вокруг двух абсолютно перпендикулярных плоскостей. Плоскости вращения образованы осями двух цилиндров. Каждое из вращений происходит следующим образом. Одна из осей вращается по самой себе, а другая, совпадающая с осевой плоскостью, остается неподвижной.

Если один из цилиндров имеет очень маленький радиус по сравнению с радиусом другого цилиндра, в силу чего у второго цилиндра очень маленькая высота (один цилиндр напоминает веревку, а другой — колесо[13]), то получающееся при этом гипертело можно назвать дважды круговым колесом.

Изучая четырехмерное пространство, мы непременно встретимся с еще одной фигурой, а именно с гиперсферой, геометрическим местом точек, равноудаленных от некоторой данной точки. Иногда гиперсферой называют гипертело, то есть конечную часть гиперпространства, заключенную внутри этого геометрического места, а само геометрическое место называют границей, или гиперповерхностью, гиперсферы. При таком понимании гиперсфера (то есть граница) трехмерна, и на ней реализуется трехмерная эллиптическая неевклидова геометрий. Впрочем, это не удивительно, поскольку обычную сферическую геометрию можно рассматривать как двумерную эллиптическую неевклидову геометрию.

Сформулируем некоторые правила, позволяющие вычислять размеры гипертел в геометрии четырех измерений. Известны правила, позволяющие вычислять объем границы гипертел или части этой границы, а также гиперобъем, то есть величину части 4-пространства, заключенной внутри границы. В большинстве случаев эти правила выводятся так же, как соответствующие правила для площади и объема в обычной геометрии, или могут быть получены методами математического анализа. Все приводимые ниже правила применимы к правильным фигурам, и большинство из них допускает обобщение на некоторые другие классы фигур, но мы не будем здесь останавливаться на этом.

Гиперпризма и гиперцилиндр.

Боковой объем = площадь поверхности основания, умноженная на высоту.

Гиперобъем = объем основания, умноженный на высоту.

Гиперпирамида и гиперконус.

Боковой объем = площадь поверхности основания, умноженная на ⅓ высоты.

Гиперобъем = объем основания, умноженный на ¼ высоты.

Двойная призма, призмоцилиндр и двойной цилиндр.

Объем одной части границы = площадь, заключенная внутри производящего многоугольника или кривой, умноженная на периметр направляющей.

Полный объем границы равен сумме двух таких произведений. Можно сказать, что полный объем равен сумме двух произведений, каждое из которых образовано при умножении площади, заключенной внутри производящего многоугольника или кривой, на периметр другого многоугольника или кривой.

Гиперобъем = произведение площадей, заключенных внутри производящих, многоугольников или кривых.

Для цилиндра двойного вращения с радиусами R и R' справедливы следующие формулы:

Объем = 2π²RR'(R + R').

Гиперобъем = πR²R'².

Гиперсфера.

Объем (границы) = 2π²R³.

Гиперобъем (заключенный внутри границы) = ⅓π²R⁴.

Если радиусы цилиндра двойного вращения равны радиусу гиперсферы, то его можно описать вокруг этой гиперсферы. При этом объем цилиндра двойного вращения будет равен удвоенному объему гиперсферы, а гиперобъем — удвоенному объему гиперсферы.

Грэхэм Д. Фитч

Популярное объяснение четвертого измерения

Представить себе наглядно четвертое измерение невозможно. Тем не менее четвертое измерение — не абсурд, а полезное математическое понятие, лежащее в основе развитой непротиворечивой геометрии. Чтобы получить хотя бы частичное представление о том, что такое четвертое измерение, и хотя бы в общих чертах представить себе его, необходимо воспользоваться аналогией с пространством меньшего числа измерений.

Мы говорим, что множество одно-, двух- или трехмерно в зависимости от того, сколько чисел (одно, два или три) необходимо задать для того, чтобы полностью определить любой из элементов этого множества. Если пространство рассматривать как множество точек, то прямую можно назвать одномерным пространством, потому что положение точки на прямой полностью определяется заданием одного числа: расстояния от некоторой! фиксированной до рассматриваемой точки. Аналогично; плоскость является двумерным пространством, а множество точек, образующих пространство, в котором мы живем, трехмерно. Действительно, точное положение любой точки на Земле известно, коль скоро заданы ее широта, долгота и высота над уровнем моря. Если мы) обратимся к четырем переменным, каждая из которых может принимать независимо от других численные значения, то получим четырехмерное множество. Такое множество, если оно состоит из точек, образует четырехмерное пространство.

Если все точки нашего пространства (3-пространства) соединить с некоторой воображаемой точкой вне его, то множество точек, лежащих на проведенных прямых, образует 4-пространство (гиперпространство). Точка, двигаясь, порождает линию. Линия, двигаясь в поперечном направлении, порождает поверхность. Поверхность, двигаясь в сторону от себя, порождает объемное тело. Тело, двигаясь из нашего пространства, порождает гипертело, или конечную часть гиперпространства. Допустимо рассуждать и несколько, иначе. Можно считать, что гиперпространство порождается всем нашим пространством, когда последнее Движется параллельно самому себе в некотором не содержащемся в нем направлении. Наше пространство в свою очередь можно считать порожденным аналогичным движением неограниченной плоскости, а плоскость — порожденной движением неограниченной прямой. Любое пространство можно рассматривать как границу между двумя частями пространства более высокой размерности. Любая неограниченная плоскость разделяет наше пространство на две равные бесконечные части. Точно так же каждое 3-пространство разделяет гиперпространство на две равные бесконечные области, а само 3-пространство образует границу между ними, обладающую бесконечно малой толщиной в четвертом измерении.

Две плоские фигуры