самым из плоскости в прямую, и перейдем в 3-пространство, содержащее абсолютно перпендикулярную плоскость, то мы сможем наблюдать за вращением одной плоскости вокруг другой: нам будет казаться, что исходная плоскость поворачивается вокруг некоторой прямой.

Плоскость может вращаться по самой себе вокруг одной из своих точек. Если две плоскости абсолютно перпендикулярны в точке O, то любая из них, вращаясь по самой себе вокруг точки O, остается абсолютно перпендикулярной другой плоскости. В этом случае можно сказать, что подвижная плоскость вращается вокруг фиксированной плоскости как вокруг оси, а саму фиксированную плоскость назвать осевой плоскостью. В каждой точке фиксированной плоскости можно построить абсолютно перпендикулярную плоскость. Все абсолютно перпендикулярные плоскости могут вращаться вокруг одной и той же исходной фиксированной плоскости. То же происходит и в нашем трехмерном пространстве, если мы выберем фиксированную прямую и в каждой ее точке построим перпендикулярную ей плоскость. Мы можем считать, что тела в нашем пространстве или в части пространства вращаются вокруг фиксированной оси. Аналогично можно считать, что тела в четырехмерном пространстве или в части этого пространства вращаются вокруг фиксированной плоскости как вокруг осевой плоскости. При таком вращении части тела не претерпевают деформации. Они сохраняют свою форму неизменной, и поэтому отпадает необходимость предполагать, что они упруги.

Если небольшие деформации считать допустимыми, то в качестве оси вращения можно выбрать кривую поверхность. Назовем материальной поверхностью тело, которое имеет значительную протяженность в двух измерениях и очень малые размеры в двух других измерениях. Пользуясь трехмерной аналогией, мы можем сказать, что кусок ткани имеет значительную протяженность в двух измерениях и очень малые размеры в третьем. Нить имеет существенные размеры лишь в одном измерении, а ее размеры в двух других измерениях очень малы. Если материальная поверхность обладает гибкостью, то ее можно перекрутить так, чтобы две противоположные стороны материальной поверхности поменялись местами. Материальная поверхность, подобно куску ткани, имеющему небольшую толщину в направлении четвертого измерения, ограничена поверхностями со всех сторон.

Можно сказать, что поворот гибкой материальной поверхности на 180° переводит две стороны, первоначально находившиеся в нашем пространстве, снова в наше пространство, но при этом меняет их местами: каждая сторона после поворота занимает то место, которое первоначально занимала другая. Различные части материальной поверхности при таком повороте не взаимодействуют между собой, поэтому поворачивать можно любую материальную поверхность, независимо от того, является ли она открытой частью некоторой большей материальной поверхности или замкнута, наподобие полого резинового шара. В нашем пространстве резиновую ленту, изгибая, можно вывернуть наизнанку. Это в точности соответствует выворачиванию сферы в пространстве четырех измерений.

Симметричные фигуры в четырехмерном пространстве лучше всего рассматривать, изучая в отдельности симметрию относительно точки, прямой или плоскости.

Фигуры на плоскости, симметричные относительно Точки, равны, ибо каждую из них поворотом вокруг точки — центра симметрии — можно совместить с другой фигурой. Однако фигуры на плоскости, симметричные Относительно прямой, нельзя совместить, не выводя из плоскости, не поворачивая в пространстве. Двумерные существа могли бы рассматривать такие фигуры как истинно симметричные, ибо их соответственные части равны, но расположены в обратном порядке, что мешает их полному совпадению.

Рассмотрим симметрию в трехмерном пространстве. Фигуры, симметричные относительно прямой, можно привести в совпадение, поворачивая одну из них вокруг Оси симметрии. С другой стороны, фигуры, симметричные относительно точки и плоскости, если только они не Являются плоскими фигурами, следует считать истинно симметричными, ибо никаким движением в пространстве совместить их невозможно. Фигуры, симметричные относительно плоскости, можно превратить в фигуры, симметричные относительно точки, а фигуры, симметричные относительно точки, — в фигуры, симметричные относительно плоскости. Предположим, например, что две фигуры симметричны относительно плоскости. Соединим их жестким стержнем, перпендикулярным плоскости симметрии, а нары соответствующих точек свяжем прямыми, например упругими нитями. Если мы повернем одну из фигур на пол-оборота вокруг стержня как вокруг оси, то упругие нити скрестятся в точке, где ось вращения — стержень пересекает исходную плоскость симметрии; относительно этой точки фигуры станут симметричными.

В четырехмерном пространстве фигуры могут быть симметричными относительно точки, прямой, плоскости или 3-пространства. Фигуры, симметричные относительно точки, можно превратить в фигуры, симметричные относительно плоскости, и наоборот, а фигуры, симметричные относительно прямой, — в фигуры, симметричные относительно 3-пространства, и наоборот. Фигуры, симметричные относительно 3-пространства, являются истинно симметричными, и их нельзя совместить никаким движением в четырехмерном пространстве. Можно сказать, что части истинно симметричных фигур расположены в обратном порядке. Но фигуры, симметричные относительно плоскости, можно совместить, повернув одну из них вокруг плоскости, как вокруг плоскости симметрии, на 180°, независимо от того, являются ли рассматриваемые фигуры четырехмерными или трехмерными. Таким образом, для четырехмерных существ то, что мы называем симметричными фигурами, отличается, лишь положением в пространстве.

Это весьма удивительный факт. Правая перчатка, повернутая в пространстве четырех измерений, становится левой перчаткой, а правый ботинок превращается в левый. Человек, привыкший работать правой рукой, после того, как его повернут в четырехмерном пространстве, превратится в левшу. Все операции он будет по-прежнему производить той же рукой, что и до поворота в четырехмерном пространстве, но всем окружающим будет казаться, что он работает левой рукой. При повороте точка зрения человека «изменилась на противоположную», поэтому ему кажется, что изменилось все окружающее. Обычные буквы представляются ему зеркальными, как шрифт наборщику, стрелки часов идут в противоположном направлении, а весь мир превращается в свое зеркальное отражение.

Между поворотом предмета в четырехмерном пространстве и выворачиванием его наизнанку существует различие, которое не всегда понимают. Правая перчатка, вывернутая наизнанку в трехмерном пространстве, превращается в левую перчатку. Правая перчатка, повернутая в пространстве четырех измерений, также становится левой перчаткой, но, когда перчатку поворачивают в четырехмерном пространстве, она не выворачивается наизнанку. С другой стороны, правую перчатку можно вывернуть наизнанку в четырехмерном пространстве так же, как и замкнутую резиновую оболочку — мяч. Как происходит такое выворачивание, мы рассказали в предыдущем разделе. При выворачивании в четырехмерном пространстве пальцы перчатки не нужно продевать сквозь отверстие, через которое мы всовываем в перчатку руку, каждая часть перчатки-поворачивается на своем месте. При таком выворачивании в четырехмерном пространстве перчатка, быть может, слегка натянется, а отдельные ее части чуть изменят свое положение. Однако при выворачивании в четырехмерном пространстве правая перчатка не станет левой, а по-прежнему останется правой перчаткой. Аналогию с выворачиванием в четырехмерном пространстве можно усмотреть на плоскости, если взять почти замкнутую фигуру. Распрямив ее в отрезок прямой, мы можем превратить фигуру в симметричную ей: для этого лишь требуется изогнуть ее в другую сторону, то есть вывернуть наизнанку. Весь процесс выворачивания происходит при этом в плоскости и доступен двумерному существу.