чисел множество их общих делителей (т. е. таких чисел, каждое из которых является делителем для обоих рассматриваемых чисел) тем более конечно. Найдя среди них наибольшее, получаем требуемое.

Пример 15. Доказать, что среди всех равных друг другу дробей непременно найдётся несократимая дробь.

Первое доказательство – со ссылкой на пример 14, а следовательно, с косвенным использованием принципа наибольшего числа. В нашем множестве дробей выберем произвольную дробь и найдём наибольший общий делитель d её числителя и знаменателя. Если d = 1, то выбранная нами дробь уже несократима. Если d ≠ 1, то сократим её числитель и знаменатель на это число d. Полученная дробь будет несократимой. Ведь если бы её можно было бы ещё сократить на какое-то число q, то произведение dq, большее числа d, было бы делителем числителя и знаменателя первоначальной дроби и d не было бы наибольшим общим делителем.

Второе доказательство – с использованием принципа наименьшего числа. Рассмотрим множество натуральных чисел, к которому отнесём всякое число, являющееся знаменателем какой-нибудь из дробей нашей коллекции равных дробей. Найдём в этом множестве наименьшее число. Дробь с таким знаменателем будет несократима, потому что при любом сокращении и числитель, и знаменатель уменьшаются.

Третье доказательство – с использованием второй формулировки принципа наименьшего числа. Предположим, что в нашем множестве дробей нет несократимой. Возьмём произвольную дробь из этого множества и сократим её. Полученную тоже сократим и т. д. Знаменатели этих дробей будут всё меньшими и меньшими, и возникнет бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно.

Продемонстрированный в третьем доказательстве примера 15 вариант метода от противного, когда возникающее противоречие состоит в появлении бесконечной последовательности убывающих натуральных чисел (чего, повторим, быть не может), называется методом бесконечного (или безграничного) спуска.

Пример 16. Вот ещё пример на метод бесконечного спуска. Выше, говоря о методе перебора, мы упомянули, что уравнение x4 + y4 = z2 не имеет решений в области натуральных чисел. Стандартный способ доказательства этого факта состоит в доказательстве от противного: противоречие выводится из предположения, что существует тройка (а, b, с) натуральных чисел, являющаяся решением уравнения, т. е. такая, что a4 + b4 = c2. Для получения требуемого противоречия применяют метод бесконечного спуска. Мы не будем здесь излагать, как именно осуществляется описываемое ниже построение[139], а ограничимся общей идеей. Идея же состоит в том, что указывается способ, следуя которому для каждой тройки натуральных чисел (а, b, с), служащей решением нашего уравнения, строится другая тройка натуральных чисел (а´, b´, с´), также служащая решением того же уравнения, но такая, что |с´| < |c|. Применяя этот метод, для тройки решения (а´, b´, с´) можно построить тройку-решение (а´´, b´´, с´´), а для этой последней – тройку (а´´´, b´´´, с´´´) и т. д. А тогда возникает невозможная убывающая последовательность натуральных чисел |c| > |c´| > |с´´| > |c´´´| >….

Напомним, что отрезок a называется мерой отрезка b, если a укладывается в b целое число раз. Возникает вопрос, для всяких ли двух отрезков существует их общая мера, т. е. такой отрезок, который является мерой для каждого из этих двух. Если какие-либо два отрезка имеют общую меру, то эти отрезки называются соизмеримыми, в противном же случае – несоизмеримыми. Итак, любые ли два отрезка соизмеримы? Этот вопрос имеет принципиальное значение: отношение несоизмеримых отрезков не может быть выражено рациональным числом, и потому именно явление несоизмеримости вызывает к жизни иррациональные числа. Тот факт, что несоизмеримые отрезки существуют, был известен ещё древним грекам и производил на них глубокое впечатление, а с открытием этого факта связан ряд легенд. Самым ранним примером несоизмеримых отрезков была такая пара: диагональ какого-нибудь квадрата и сторона этого же квадрата. Разумеется, попытки доказать несоизмеримость двух отрезков методом перебора были бы тщетны, ведь тогда пришлось бы перебрать все отрезки (что невозможно!) и убедиться, что никакой из них не является общей мерой рассматриваемых отрезков, в частности общей мерой стороны и диагонали одного и того же квадрата.

Все известные доказательства несоизмеримости стороны и диагонали квадрата осуществляются способом от противного. Мы приведём два доказательства – арифметическое и геометрическое. Обоим предпошлём следующее соображение. Если разрезать квадрат по диагонали, возникнут два равнобедренных прямоугольных треугольника, в каждом из которых эта диагональ будет гипотенузой, а стороны квадрата – катетами. Так что вопрос о соизмеримости или несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали равносилен вопросу о соизмеримости или несоизмеримости катета и гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Несоизмеримость катета и гипотенузы мы и будем доказывать.

Пример 17. Несоизмеримость гипотенузы и катета равнобедренного прямоугольного треугольника. Арифметическое доказательство. Предположим противное: у гипотенузы и катета имеется общая мера. Пусть эта общая мера укладывается целое число m раз в гипотенузе и целое число n раз в катете. Тогда по теореме Пифагора 2n² = m², откуда √2= m/n. Но этого не может быть, так как √2 есть число иррациональное, что было доказано в примере 11.

Но известно и другое доказательство несоизмеримости гипотенузы и катета, чисто геометрическое, необыкновенно красивое и, возможно, древнее.

Пример 18. Несоизмеримость гипотенузы и катета равнобедренного прямоугольного треугольника. Геометрическое доказательство. Рассуждать будем так. Для каждого равнобедренного прямоугольного треугольника Q построим другой равнобедренный прямоугольный треугольник Q´ с более коротким катетом и такой, что всякая общая мера катета и гипотенузы треугольника Q служит также общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´. Применяя к Q´ ту же конструкцию, получим равнобедренный прямоугольный треугольник Q´´ с ещё более коротким катетом и такой, что всякая общая мера катета и гипотенузы треугольника Q' служит также общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´´. К треугольнику Q´´ снова применяем ту же конструкцию. И так далее. Получаем бесконечную последовательность равнобедренных прямоугольных треугольников Q, Q´, Q´´, Q´´´, … со всё более и более короткими катетами; при этом всякая общая мера катета и гипотенузы исходного треугольника Q будет в то же время и общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´, а значит, и общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´´, а следовательно, катета и гипотенузы треугольника Q´´´ и т. д. Это построение, которое мы осуществим ниже, и позволяет провести доказательство от противного.

Действительно, предположим, что некоторый отрезок a является общей мерой для катета и гипотенузы треугольника Q. Тогда для каждого из треугольников Q(k) он является общей мерой катета и гипотенузы этого треугольника. Отсюда следует, что в катете каждого из этих треугольников он укладывается какое-то целое число раз. Пусть отрезок a укладывается