выпуклые — уменьшают размеры, а вогнутые — увеличивают; отчего в зеркале меняются местами право и лево; каким образом вогнутое зеркало способно собирать солнечный свет и даже поджигать что-либо; из-за чего в небе видна радуга; как преломляются лучи в различных средах, и почему погруженные в воду предметы кажутся больше, а также многое иное подобного же рода. Точный и ответственный подход Архимеда к научным исследованиям не оставляет сомнений, что все указанные проблемы были разобраны с большой тщательностью, но от всего указанного многообразия до наших дней сохранились лишь отдельные отрывки, переписанные другими авторами в свои книги.

Например, мы точно знаем, что в «Катоптрике» Архимед показал, что для отраженного в зеркале светового луча угол падения равен углу отражения. Этот факт совсем неочевиден, ведь существует множество способов построить путь от источника до глаза наблюдателя. Рассмотрим плоское зеркало, источник света A и глаз B (Архимед бы сказал, что луч зрения идет от глаза к объекту A). Полагаем, что луч света отражается от зеркала в точке O так, что α = β. Допустим, что в действительности луч света движется по какому-либо иному пути, например, отражается от зеркала в точке K, и тогда α’ > β’, то есть угол падения больше угла отражения. Мысленно поместим источник света в точку B, а глаз — в точку A, и получим, что угол падения стал меньше угла отражения, а это противоречит изначальному допущению. Единственным случаем, когда противоречия не возникает, это ситуация когда углы падения и отражения равны.

На самом деле приведенное доказательство не выглядит безупречным. Очевидно, оно исходит из постулата о том, что если пометь местами видимый предмет и глаз, то ход лучей никак не изменится, но это совсем не очевидное допущение, более того — интуитивно хочется предположить как раз обратное. Возможно, что переписчик, не сумел понять настоящее доказательство Архимеда, и привел его в сильно искаженном виде, сохранив лишь общий принцип сведения альтернативных версий к абсурду.

Другой, сохранившийся фрагмент «Катоптрики» выглядит намного убедительнее. В этом отрывке Архимед рассказывает о том, как смог определить угол, который занимает на небосводе солнечный диск. Для этого на длинной горизонтальной линейке Архимед разместил небольшой цилиндрик (на чертеже он обозначен как A) и, дождавшись восхода, когда на Солнце еще можно спокойно смотреть, поместил свой глаз у одного конца линейки, а цилиндрик переместил так, чтобы тот едва-едва начал заслонять Солнце. Если бы человеческий зрачок являлся точкой, что проведя касательные к цилиндру, можно было бы получить угол α, соответствующий искомой величине. Архимед, однако же, справедливо отмечает, что необходимо учесть поправку на размер зрачка, для чего на линейке устанавливается специальная пластинка B, размер которой равен размеру зрачка. Теперь, проведя касательные одновременно к цилиндру A и пластинке B, мы получим угол β, который окажется меньше искомой величины.

В данном случае мы встречаем, пожалуй, первый в истории случай оценки погрешности для экспериментально определяемой величины. Из своих опытов Архимед определил, что угловой размер Солнца составляет от 1/200 до 1/164 прямого угла, то есть от 27’ до 32’55’’. Поскольку истинное значение составляет примерно 30’, то можно лишь поразиться мастерству Архимеда, учитывая, сколь примитивными были его инструменты.

Популярность «Катоптрики» в античности была достаточно велика (это означает, что ее прочитало несколько сотен человек), и, вероятно, именно эта книга послужила источником легенды, о том, что Архимед будто бы сумел уничтожить римский флот при помощи огромных зажигательных зеркал. В реальности едва ли это было возможным даже при самых благоприятных погодных условиях, а данную историю наверняка сочинили намного позже, опираясь на исследования Архимеда о небольших параболических отражателях, с помощью которых удавалось воспламенить сухую ткань или щепки.

Оптические работы Герона Александрийского

В более поздних работах Герона Александрийского говорится, что оптика, как наука подразделяется, на учение о том, как мы видим предметы, учение об отражениях и учение о визировании на местности и земельной съемке. В последнем деле Герон особенно преуспел и даже написал книгу о диоптре — сконструированном им самим геодезическом приборе для измерения и фиксирования горизонтальных и вертикальных углов между различными объектами. Так, например, если требовалось определить расстояние от точки A до недоступного объекта K, то Герон предлагал выбрать доступную точку B на прямой AK, а затем еще две доступные точки C и D, такие, чтобы треугольник KBC получился прямоугольным. Теперь необходимо измерить длины отрезков AD, BC и AB, а затем составить пропорцию

откуда получаем искомое расстояние

Если же требуется определить расстояние между точками N и M, которые невозможно наблюдать одну из другой, то в таком случае Герон предлагает провести серию дополнительных построений, построив на местности ломаную линию, все звенья которой расположены перпендикулярно друг к другу. Измерив затем все прямолинейные участки, можно, хоть это и потребует некоторых вычислений, определить длину отрезка NM.

Диоптра позволяла также определять расстояние между кораблями в море, измерять расстояние деревьев и зданий, вычислять площади различных территорий, в том числе и таких, на которые невозможно зайти, а также вести работы по строительству туннелей, соединяя, например, две заданные точки с противоположной стороны горы.

Если же вернуться непосредственно к оптическим сочинениям Герона, то особый интерес представляет его доказательство того, что исходящие из глаз зрительные лучи движутся с бесконечной скоростью. В самом деле, расстояние до звезд очень велико, но если мы закроем и откроем глаза, то сможем увидеть звезды сразу же, лишь только взглянем на небо. Получается, что зрительные лучи достигли звезд и вернулись обратно за очень малое время. Данный аргумент, к слову, использовался и для опровержения теории зрительных лучей, поскольку возможность столь быстрого движения многим представлялась совершенно невероятной. Схожие сомнения высказывал даже Евклид, который, как мы помним, поддерживал теорию о зрительных лучах.

Закон отражения у Герона

Не менее интересно и то, как Герон в своем трактате «Катоптрика» доказывает закон отражения, опираясь на тезис о том, что Природа не напрягает силы без нужды. Данное утверждение неявно содержит в себе принцип минимизации потенциальной энергии, и в самом общем виде оно формулировалось еще Аристотелем, однако именно Герон (либо же автор источника, из которого Герон переписывал) сумел использовать его для плодотворных научных рассуждений. Так, сразу же оказывается необходимым сделать заключение о прямолинейности