зрительных лучей, ведь любое движение с постоянной скоростью должно происходить по кратчайшему расстоянию между точками, поскольку движущая сила не позволит терять время на более долгий путь. Теперь уже нетрудно доказать и сам закон отражения.

Пусть объект находится в точке A, а глаз наблюдателя — в точке B. Луч зрения вышел из глаза B и достиг объекта A, отразившись от зеркала KM в некоторой точке O. Мы, в отличие от Герона, разумеется, говорим, что луч света идет от предмета к глазу, но на суть дальнейшего доказательства это никак не повлияет. Вопрос заключается в том, где именно должна находиться точка O, чтобы путь B-O-A оказался наименьшим?

Начертим прямую AC перпендикулярную плоскости зеркала, причем точка C расположена так, что AK = KC. Иными словами в точке C находится зеркальное изображение объекта A. Кратчайшим расстоянием между B и C, естественно, является прямая, и очевидно, что BOM = KOM = θ. Теперь заметим, что у прямоугольных треугольников AOK и COK равны оба катета, и, следовательно, они полностью одинаковы. Таким образом, AO = OC, а путь B-O-A равен наикратчайшему пути B-O-C, и при этом AOK = θ. Равенство углов падения и отражения доказано, ведь только в таком случае путь зрительных лучей окажется минимальным.

Приведенные рассуждения Герона дают нам один из самых ранних примеров того, как частный физический закон выводится из некоторого общего принципа исключительно с помощью математики. Попытки сделать нечто подобное уже предпринимались в «Механических проблемах», но там они выглядели по большей части неубедительно, тогда как в данном случае перед нами образец чистого научного доказательства. Впрочем, сами греки едва ли ощущали тут хоть какую-то значимую разницу. По крайней мере, никаких указаний на это нет.

Оптические исследования Клавдия Птолемея

Несмотря на все политические и исторические потрясения, в Александрии никогда не прекращались исследования особенностей зрения и законов движения света. Во II веке нашей эры знаменитый астроном Клавдий Птолемей написал книгу «Оптика», отрывки которой известны нам в искаженном латинском переводе с утерянного арабского текста, который был основан на греческом оригинале. Весьма вероятно, что этой цепочке присутствовал еще и промежуточный перевод на древний сирийский язык.

Точно так же, как Евклид и Герон, Птолемей придерживается концепции об исходящих из глаза зрительных лучах. В своей книге он приводит множество измерений, подтверждающих закон о равенстве углов падения и преломления, причем это правило распространяется в том числе и на кривые зеркала. Делается абсолютно верное заключение, что для неровной поверхности равенство углов необходимо определять по отношению к нормали, проведенной в точке отражения.

Также в работе Птолемея мы находим самые ранние сохранившиеся таблицы преломления света при переходе световых лучей из одной среды в другую. Само по себе данное физическое явление было известно с далекой древности (уже в комедии Аристофана «Облака» зажигательное стекло упоминается как нечто общеизвестное), однако именно Птолемей впервые провел целенаправленное и систематическое исследование преломления. Для своей работы он изготовил специальный измерительный прибор, состоящий из диска, на оси которого были закреплены две вращающиеся линейки. Размещенный вертикально диск наполовину погружался в воду, после чего одна из линеек устанавливалась произвольным образом, а вторая поворачивалась до тех пор, пока визуально не начинало казаться, будто они обе расположены на одной прямой. После этого прибор вынимался из воды и по специальным делениям измерялся реальный угол между линейками.

Хоть описанное устройство и представляется достаточно простым, но с его помощью Птолемею удалось получить весьма точные значения углов при переходе света из воздуха в воду, а также — из воздуха в стекло и из воды в стекло. Очень долго считалось, что все приведенные в «Оптике» цифры были получены экспериментально, однако современные исследователи склоняются к тому, что Птолемей провел лишь несколько опытов, а большинство значений в диапазоне от 10° до 80° вычислил теми же методами, которыми астрономы определяли промежуточные положения небесных светил.

Размышляя о том, отчего при отражении углы движения зрительных лучей равны, а при преломлении — не равны, Птолемей заключает, что здесь имеет место удивительное свойство природы сохранять активность силы. К сожалению, последующая часть книги, где разъясняется данная цитата, до нас не дошла.

Успех античной оптики

Таковы, вкратце, были античные знания в области оптики. Безусловно, мы должны дать им достаточно высокую оценку, хотя они и базировались на совершенно неверном представлении об исходящих из глаз зрительных лучах. Именно в греческой оптике мы впервые в истории человечества встречаем вполне четкое понимание и строгое использование принципа наименьшего действия, который, впрочем, не был тогда взят на вооружение в иных областях науки, да и не совсем понятно, как можно было бы использовать его где-либо еще. В самом деле, оптика сама по себе идеально подходила для исследований средствами чистой геометрии, тогда как, например, механика требовала уже совсем иных математических подходов и методов.

Весьма характерно, что Папп Александрийский полагал изучение «Оптики» Евклида обязательным для всех, кто собирается заняться астрономией, а особенно — трудами Клавдия Птолемея. На самом деле Папп дает большой список книг, предварительное постижение которых необходимо для освоения науки о небе, и «Оптика», на первый взгляд, сильно выделяется из этого перечня сугубо астрономических трактатов (так, например, там присутствуют еще и «Явления» Евклида, в которых излагаются основы сферической геометрии). В самом деле, в «Оптике» ничего не говорится о звездах и небесных телах, а есть лишь несколько теорем о том, как человеческий глаз видит сферические объекты. Впрочем, даже эти соображения почти не имеют никакой значимости для наблюдений Луны и Солнца ввиду малого углового размера последних.

Логику Паппа можно понять, если учесть, что он не посчитал нужным упомянуть «Оптику» самого Птолемея, которая в физическом плане намного превосходит работу Евклида. Книга Евклида в данном случае рекомендовалась скорее из методологических соображений Греческие работы по оптике наглядно показывали, как чистые математические построения позволяют исследовать реальные физические явления и получать достоверную информацию об окружающем мире. В гораздо большем масштабе это пыталась сделать и античная астрономия. С этой точки зрения Евклид, несомненно, превосходит других греческих авторов, демонстрируя всю мощь и пользу геометрического доказательства для обоснования реальных оптических явлений. Быть может, Евклиду недостает глубины в понимании общих физических принципов, зато он говорит о многих вещах и исключительно на языке математики. Также о многом говорила и античная астрономия, а ее успехи