статьи появились первые ошеломляющие результаты Гёделя, давшие ответ на ряд затронутых в статье вопросов и одновременно внёсшие математическую строгость в самоё постановку этих вопросов.

Со статьёй Колмогорова перекликаются отдельные места некоторых других статей данного сборника, прежде всего «Апологии математики» и «Семи размышлений».

Затекстовые комментарии нацелены в основном на то, чтобы дать представление о современном положении дел. Непосредственно в тексте они отмечены заключёнными в квадратные скобки цифрами от [1] до [21]. В остальном колмогоровский текст печатается в том виде, в каком он был опубликован в «Научном слове», без каких-либо изменений, за исключением немногочисленных орфографических и пунктуационных поправок. Сопровождавшие статью комментарии редакции «Научного слово» – а именно предварявшая статью преамбула и подстрочные примечания – опущены[179].

I

Никогда ещё претензия математики на незыблемость и общезначимость её выводов не подвергалась столь суровым испытаниям, как в настоящее время. Недаром французский математик Гадамар [1] по поводу некоторых математических споров выставил недавно гипотезу, что причина несогласий кроется в разности осмотического давления в клеточках мозга или ещё каком-либо различии, столь же мало поддающемся устранению посредством логических доказательств. Если эта гипотеза и носит несколько шуточный характер, то самая безнадёжность прийти к соглашению по некоторым вопросам очень остро ощущается многими. Так, ещё в 1905 г. в «пяти письмах о теории множеств» [2] несколько французских математиков, в том числе Гадамар и Борель, высказали прямо противоположные мнения по поводу незадолго до этого предложенного Цермело так называемого принципа произвольного выбора. То, что казалось Гадамару совершенно очевидным и не требующим никаких доказательств, Борелю представлялось отнюдь не очевидным и даже лишённым всякого смысла. Лебег и Бер [3] в своих письмах высказали ещё новые оттенки взглядов на тот же вопрос. Все эти различные мнения остаются непримирёнными до настоящего времени.

Правда, исчисление бесконечно малых в первый период своего развития вызывало также много споров и несогласий. Но там дело шло только об отсутствии достаточно точных определений; недостаток этот сознавался и самими сторонниками новых методов и в течение XIX в. был устранён. В настоящее время исчисление бесконечно малых обосновано столь прочно, как и более старые отрасли математики, и поводу смысла его основных понятий не возникает никаких недоразумений. Для этого было достаточно проделать чисто математическую работу: дать хорошие определения и формулировать исчерпывающую систему допущений, на которые опираются последующие логические построения. Разрешения же современных разногласий приходится искать вне математики. Когда часть математиков формулирует достаточно простой принцип теории множеств, кажущийся им очевидным, другая же часть находит этот принцип лишённым какой бы то ни было убедительности, неизбежным становится теоретико-познавательный анализ смысла основных терминов, ими употребляемых. Дело идёт собственно о понятиях множества, его элемента и особенно о понятии существования. Довольно ясно, что формальное математическое определение этих понятий было бы пустой тавтологией.

Эта и многие другие трудности, возникшие на окраинах современной математики по поводу недавно возникших крайне абстрактных теорий, не мешают, конечно, продолжать текущую работу в классических областях математики. При этом имеется довольно обоснованная уверенность, что наиболее ценные конкретные достижения современной математики устоят против ведущейся разрушительной критики. Однако с чисто логической точки зрения дело обстоит так, что при исследовании весьма конкретных вопросов классического анализа применяются те же самые методы, которые в более общих теориях приводят к затруднениям и даже противоречиям [4]. На этом обстоятельстве особенно настаивает Вейль. Например, он убедительно показывает, что доказательство существования верхнего предела числовой последовательности обосновывается рассуждениями совершенно такого же рода, как те, которые в общей теории множеств приводят к противоречиям (антиномиям), открытым Ресселем [5] и др.

Естественен поэтому повышенный интерес, который проявляют сейчас математики к углублённому исследованию оснований своей науки. При этом им неизбежно приходится выходить за пределы собственно математических рассуждений и опираться на ту или иную теорию математического познания. К сожалению, часто теория познания математиков, занимающихся исследованием оснований, имеет несколько кустарный, доморощенный характер.

Две теории в настоящее время обещают разрешить все затруднения, волнующие математиков, обе, правда, довольно дорогой ценой.

Возглавляемый Гильбертом формализм предполагает сделать это посредством превращения математики в чистую игру символами, в которой всё позволено под единственным условием уметь доказать отсутствие в этой игре противоречий. Интуиционизм Броуэра [6], напротив, предлагает изгнать из математики всё, что не имеет твёрдого основания в общей всем интуиции. Большинство математиков, внимательно присматриваясь к обоим течениям, занимает выжидательную позицию.

Основной трудностью при изложении содержания этих двух теорий для неспециалистов является то обстоятельство, что обе они возникли в виде реакции против теоретико-множественной концепции математики, которая сама имеет не столь древнее происхождение и ещё недостаточно хорошо известна нематематикам. Поэтому нам придётся сначала напомнить её развитие, в основном закончившееся к началу нашего столетия, затем рассмотреть те затруднения, к которым она привела, и лишь после этого наметить попытки их преодоления, предлагаемые Гильбертом и Броуэром.

II

Наибольшей известностью пользуется изложение нового взгляда на структуру математической теории, данное на границе нашего и прошлого века в «Основаниях геометрии» Гильберта [7]. Здесь объявляется, что геометрия имеет дело с системой вещей, условно называемых «точками», «прямыми», «плоскостями», связанных отношениями тоже совершенно неизвестной природы, отношениями, условно описываемыми терминами «прямая проходит через точку» и т. д. Отнюдь не природа этих вещей и отношений определяет содержание геометрии. Для развития геометрии важно только то, что эти отношения удовлетворяют известным аксиомам, например такой: «Существует одна и только одна прямая, проходящая через две данные точки». Гильбертом дана система из двадцати двух аксиом геометрии; всякая система вещей и отношений, которая удовлетворяет этим двадцати двум аксиомам, по мнению Гильберта, с одинаковым правом может быть названа «пространством». В ряде приложений к «Основаниям геометрии» показывается, что и другие математические теории могут быть изложены подобным образом. Рессель формулировал этот взгляд на истинный смысл математической теории в виде широко известного парадокса: «Математика – это наука, которая не знает, о чём она говорит и что она говорит».

Первой теорией, которая получила строгое абстрактное изложение, т. е. изложение, ничего не предлагающее относительно природы элементов, образующих изучаемую систему, была теория групп.

Именно Кэли в 1854 г. было предложено называть «группой» всякую систему элементов, для каждых двух из которых определён третий элемент, называемый их «произведением», если только это произведение удовлетворяет известным перечисленным им условиям, например условию (АВ)С = А(ВС). Приведём два примера групп. Группой будет совокупность тех вращений куба вокруг его центра, которые совмещают его с самим собой[180]. Число различных таких вращений равно 24. Группой же будет совокупность всевозможных перестановок четырёх символов. Число таких перестановок тоже равно 24. Больше того, внутренняя структура этих двух групп, на