первый взгляд не имеющих между собой ничего общего, совершенно тождественна. С точки зрения абстрактной теории это одна и та же группа. Именно в возможности абстрактную теорию применять в самых различных случаях, придавая основным её терминам то или иное конкретное значение, и заключается одно из основных преимуществ новой точки зрения.

Отчётливое понимание абстрактной природы геометрии мы встречаем впервые в 1871 г. у Клейна, который показал, что каждая из трёх разработанных к тому времени систем геометрии допускает много различных применений. Так, например, сферы и окружности, ортогональные к одной данной сфере в евклидовом пространстве, обладают всеми свойствами плоскостей и прямых геометрии Лобачевского. Поэтому из каждой теоремы геометрии Лобачевского мы можем одним изменением терминов получать теорему о сферах и окружностях евклидова пространства.

Абстрактное изложение теории чисел было дано Пеано, для чего ему понадобились только три аксиомы. Но целые числа сохраняют и в современной математике особое положение. В самом деле, математика изучает системы предметов, отвлекаясь от природы каждого из них. Но сама система, если она конечна, состоит из определённого числа предметов. Так, абстрактные группы классифицируются по их «порядку», числу элементов. Здесь число фигурирует не как нечто удовлетворяющее аксиомам Пеано, а как понятие с вполне определённым содержанием.

Отстаивая такое особое положение в математике целого числа, Пуанкаре, безусловно, высказывал мнение большинства математиков.

Зато теорию действительных чисел (дробных и иррациональных) современная математика склонна рассматривать как абстрактную теорию, так как конкретное их осуществление достаточно разнообразно[181]. Система аксиом, определяющая действительное число, дана в одном из приложений к «Основаниям» Гильберта.

Для того чтобы абстрактная теория имела смысл, необходимо существование хотя бы одной системы предметов и отношений, удовлетворяющей выставленным аксиомам [8]. Когда дело идёт о системах из конечного числа элементов, вопрос решается крайне просто, так как такая система может быть непосредственно материально осуществлена. Так и поступают в теории конечных групп: группу задают таблицей её элементов и их произведений.

Много сложнее вопрос об абстрактных системах геометрии. Первоначальной моделью математического пространства было физическое пространство нашего внешнего опыта. Но, во-первых, геометрия идеализирует данные непосредственного опыта, что разрушает однозначность связи между элементами математического пространства и наблюдаемыми элементами пространства физического. Во-вторых, теперь мы имеем уже не одно математическое пространство, а бесчисленное их множество, причём неизвестно, которое из них является наиболее точной моделью пространства физической действительности. Поэтому приходится конструировать образцы различных пространств аналитическим путём. Так, для доказательства реальности данной им системы аксиом евклидова пространства Гильберт рассматривает пространство, в котором точки являются просто тройками действительных чисел – их координат. Точно так же и другие виды пространств легко строятся при помощи чисел. Но и сами действительные числа нуждаются в конструкции.

Обычно при конструктивном определении числа предполагают уже данными целые числа, как определённые их реальным значением. Правда, логисты (Пеано, Рессель) пытались обойтись без этого, но мы увидим дальше, что действительные тенденции логистики [9] оказались очень далёкими от рассматриваемой сейчас концепции.

Рациональные числа строятся без труда посредством пар целых чисел, изображающих их в виде дроби. Существенно новый принцип пришлось ввести Дедекинду для определения произвольного действительного числа. Дедекинд определяет действительное число как сечение в ряду рациональных чисел, т. е. использует для определения одного действительного числа разбиение рациональных чисел на два бесконечных множества. Это приводит нас к одному из основных конструктивных принципов теории множеств – переходу от данного множества к множеству его частей.

Теперь часто предпочитают построение действительного числа, отправляясь непосредственно от целых чисел. Так, можно объявить действительным числом просто всякую последовательность натуральных чисел, рассматриваемую как последовательность неполных частных непрерывной дроби. Последовательность натуральных чисел, в которой каждому номеру места в последовательности соответствует определённое число, есть не что иное, как целочисленная функция от целочисленного аргумента. Аналогично, имея два множества, строят множество всех функций, ставящих в соответствие каждому элементу первого множества некоторый элемент второго множества.

Если к этим принципам присоединить ещё сложение множеств, то мы получаем возможность, исходя от натурального ряда целых чисел, построить запас элементов достаточной мощности, чтобы составить из них системы, удовлетворяющие самым разнообразным требованиям.

III

Предыдущие краткие указания были направлены главным образом к тому, чтобы сделать ясным, насколько теоретико-множественная точка зрения глубоко проникла во всю современную математику. Общая теория множеств с её специальными проблемами, правда, остаётся несколько изолированной, но её методы получают всё большее преобладание в изложении классических отраслей математики и постепенно проникают в элементарные учебники.

Мы могли различить в этой концепции математики две стороны: с одной стороны, имеются теории, постулирующие существование бесконечных систем объектов, удовлетворяющих известным аксиомам, и формально извлекающие из этих аксиом свойства изучаемой системы; с другой стороны, признаётся необходимой ещё конструкция соответствующих объектов исходя из натурального ряда или ещё какого-либо запаса элементарных объектов. Последние годы показали, что устойчивого равновесия между этими двумя сторонами достигнуто не было. С известным приближением можно формулировать выдвинутые в новейшее время точки зрения так: Гильберт предлагает сохранить только первую, формальную, часть математики, освободив нас от необходимости конструкции посредством своей теории непротиворечивости; Броуэр, напротив, ценит по преимуществу конструктивную часть, но думает, что конструкция не в состоянии дать нам то законченное существование бесконечных совокупностей, которое требуется для свободного применения ставших обычными в математике способов рассуждений, и поэтому требует коренного пересмотра приёмов математического доказательства.

Появление этих крайних точек зрения объясняется тем, что соединение обеих сторон теоретико-множественной математики привело к большим затруднениям и даже противоречиям. Общим источником этих затруднений является следующее. Математики привыкли обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи реального мира, во всём подобные материальным.

Уже самоё предпочтение термина «вещь» (Ding) термину «предмет» (Gegenstand) [10] достаточно характерно в этом отношении; а именно о системе «вещей» говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», так же как и большинство математиков. Между тем такой взгляд в общей теории множеств приводит к противоречиям.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим известный парадокс Ресселя. Предположим при этом, что все логические классы существуют наподобие столбов, к которым протянуты проволоки от всех входящих в них вещей… Если сам класс является элементом самого себя, то наш должен выступать в двойной роли: элемента класса и столба, этот класс отображающего. Исходящая от него как от элемента проволока должна возвращаться к нему же как к столбу, отображающему весь класс элементов. Выделим теперь все те столбы, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом, это те классы, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Среди них, например, не будет класса всех классов. Выделенные столбы образуют вполне определённый класс вещей. Следовательно, должен уже существовать столб, к