П. Функция // Большая Советская Энциклопедия. 3-е изд. Т. 28. – М., 1978. – С. 138.

121

См. об этом в книге: Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика / Пер. с англ. – 2-е изд. – М., 1967. – С. 302–304.

122

Киселёв А. П. Алгебра. – 41-е изд. – Ч. II. – М., 1964. – С. 25.

123

Величина y называется функцией величины x, определённой на множестве M, если каждому значению величины x, определённой на множестве М, соответствует единственное определённое значение величины y (Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. М., 1953. С. 15. Ср. также § 2.). Переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определённое значение y (Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. 5-е изд. Т. 1. М., 1964. С. 40).

124

Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. М., 1964. С. 37.

125

См. Колмогоров А. Н. Величина // Большая Советская Энциклопедия. 2-е изд. Т. 7. 1951 (3-е изд. Т. 4. 1971). См. также статью «Переменные и постоянные величины» во 2-м издании Большой Советской Энциклопедии (Т. 32. 1955).

126

Александров П. С. Указ. соч. С. 14.

127

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – 3-е изд., перераб. – М., 1972. – С. 14. Незнакомые со знаком могут понимать его в данном случае просто как синоним предлога «из».

128

См., например: Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.; Л., 1950. – С. 80.

129

Вот что сказано по этому поводу в двух сочинениях, которые можно, пожалуй, назвать классическими: «Понятие функции такое же основное и первоначальное, как и понятие множества» (Хаусдорф Ф. Теория множеств / Пер. с нем. – М.; Л., 1937. – С. 12); «В конечном счёте понятие функции – или какое-либо сходное понятие, например понятие класса – приходится считать первоначальным, или неопределяемым» (Чёрч А. Введение в математическую логику / Пер. с англ. – Т. 1. – М., 1960. – С. 351).

130

Вот, например, как определяется функция в весьма популярной в своё время книге Дж. Кемени, Дж. Снелла и Дж. Томпсона «Введение в конечную математику» (М., 1963. С. 95): «Пусть дано множество D, которое называется областью определения функции, и правило f, которое каждому элементу множества D ставит в соответствие некоторый объект. ‹…› Тогда f называется функцией, определённой на множестве D». Сравнение с приведённой выше цитатой из учебника А. Д. Мышкиса показывает, что этот «второй подход второго направления» весьма, по существу, близок ко «второму подходу первого направления», поскольку в этом последнем обращение к понятию переменной величины является на самом деле совершенно необязательным.

131

Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М., 1948. С. 126.

132

Клини С.К. Введение в метаматематику / Пер. с англ. – М., 1957. – С. 36.

133

Бурбаки Н. Теория множеств. С. 90.

134

Гейберг прославился ещё и тем, что открыл так называемый Архимедов Палимпсест. А именно: в 1906 г. Гейберг обнаружил, что литургический текст хранящейся в Константинополе книги на пергаменте написан поверх семи сочинений Архимеда, из коих два дотоле не были известны даже в переводах. Эти семь текстов он, вооружённый только собственными глазами и тем фотоаппаратом, какие существовали в начале XX в., переписал и издал. Дальнейшими исследованиями, произведёнными с помощью современной техники, было установлено, что исходный текст записан на пергаменте в X в., а новый текст поверх старого – в XII в.

135

Современные формулировки даны в книге «Что такое аксиоматический метод?», а здесь не приводятся.

136

Мы видим, что наша попытка наглядного разъяснения понятия 'актуальная бесконечность' содержит в себе внутреннее противоречие. Некоторые специалисты в области оснований математики считают, что указанное противоречие присуще самому этому понятию. Приверженцы такой точки зрения отвергают поэтому представление об актуальной бесконечности, а признают законным лишь представление о бесконечности потенциальной, т. е. о неограниченной продолжаемости процессов. Однако именно представление об актуальной бесконечности оказалось чрезвычайно плодотворным как для самой математики, так и для её преподавания (оно лежит в основе преподавания математики в вузах).

137

На самом деле такого математика не существует. Николя Бурбаки – это коллективный псевдоним группы математиков, подобно тому как Козьма Прутков – коллективный псевдоним группы писателей (но только, в отличие от группы Бурбаки, постоянного состава). Сказанное не послужило препятствием ни к тому, чтобы г-н Бурбаки имел свой почтовый ящик на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 г. (причём почту из ящика исправно забирали), ни к тому, чтобы он получил гонорар, выписанный ему издательством «Мир» за осуществлённое в 1965 г. издание русского перевода первого тома его трактата. Рассказывают, что, когда Американское математическое общество выпустило справочник, где было написано, что Бурбаки – псевдоним группы математиков, возмездие последовало незамедлительно: в одной из публикаций Бурбаки президент Американского математического общества был назван мифической фигурой, коллективным псевдонимом.

138

См. сноску 6 настоящего издания.

139

Заинтересованный читатель найдёт это построение в главе 15 книги Г. Радемахера и О. Тéплица «Числа и фигуры. Опыты математического мышления», одной из лучших популярных книг по математике. Её перевод с немецкого выдержал в России четыре издания (последнее – в 2007 г.).

140

У автора этих строк нет сомнений в том, что Ададуров нашёл это равенство самостоятельно, а также нет сведений, что на него претендовал кто-либо из европейских математиков. Однако в арабских математических текстах оно встречалось ранее. Об этом свидетельствует 32-й лист манускрипта западноарабского математика XV в. ал-Каласади (полное имя: Абу-л-Хасан Али ибн Мухаммад ибн Ади ал-Кураши ал-Басти ал-Каласади). Русский перевод этого манускрипта под названием «Раскрытие тайн науки цифр губар» опубликован в 2009 г. в ежегоднике «Историко-математические исследования» [вторая серия, выпуск 13 (48)]. Обсуждаемое равенство содержится во втором и третьем абзацах на с. 352 названной публикации.

141

Более подробно об этом уже говорилось на страницах этого сборника – в глава 4 статьи «Апология математики» и в заключительном замечании размышления второй статьи «Семь размышлений…».