class="title6">

142

Чертёж заимствован со с. 130 книги Ф. Кэджори «История элементарной математики с указанием на методы преподавания» (Одесса: Mathesis, 1910).

143

Полезно представить себе граф, в котором в вершинах размещены слова, а стрелка идёт от вершины X в вершину Y в том случае, если в словарной статье, толкующей слово X, встречается слово Y.

144

Например, в толковом словаре английского языка Хорнби и Парнуэлла [8] оставлены без объяснений такие слова, как thing (в основном значении) и all. К сожалению, для русского языка подобный словарь, в котором «первичные» слова оставлены без объяснений, ещё не создан.

145

Эти слова произнёс «неглупый ученик» в оправдание сделанному им на уроке заявлению, что шар, положенный на наклонную плоскость, покатится вверх. Сей замечательный эпизод описан в работе [10, с. 150–151].

146

Автор пользуется случаем выразить свой протест против получившего, к сожалению, распространение русского перевода названия трактата Бурбаки как «Элементы математики» (в подлиннике «Eléments de mathématique»). Французские издания «Начал» Евклида также озаглавлены «Eléments». «Параллельность» замыслов Евклида и Бурбаки бросается в глаза. (Несколько менее очевидное сходство заключается в загадочности личностей обоих авторов и скудности биографических сведений о них. Ведь само существование Евклида как отдельного человека иногда также подвергается сомнению.) Если принятое русское название трактата Евклида, укоренившееся ещё в XIX в., есть «Начала», то русским названием для трактата Бурбаки должно быть «Начала математики».

147

П. С. Александров как бы предвидел начавшееся в последние годы разведение страусов в Северном полушарии (цитата относится к 1948 г.).

148

Названия членов Натурального Ряда – Ноль, Один (Единица), Два (Двойка) и т. д. – мы пишем с прописной буквы, чтобы подчеркнуть уникальность, т. е. абсолютную единственность, этих членов. Слова «Ноль», «Один» (или «Единица»), «Два» (или «Двойка») и т. д. – собственные имена в абсолютном смысле (такие как слова «Солнце», «Луна», «Земля»), у каждого из них единственное значение – количество элементов пустого, одноэлементного, двухэлементного и т. д. множества. А «ноль» аксиом Пеано является именем собственным лишь относительно, в пределах данного контекста, а точнее, в контексте той структуры, которая описывается этими аксиомами. Таких структур много, и в каждой из них свой ноль.

149

По поводу понятий «изоморфизм», «изоморфный» мы отсылаем читателей ко второй из двух статей «Изоморфизм» в 3-м издании Большой Советской Энциклопедии [14].

150

Хотя обычно говорят «с точностью до изоморфизма», возможно, более правильным было бы говорить «с точностью до изоморфии». Дело в том, что изоморфизм – это математический объект, а именно такое соответствие между двумя структурами, которое сохраняет свойства этих структур (несколько более точно – сохраняет характерные для этих структур отношения и операции). Изоморфия же двух структур означает факт существования изоморфизма между ними.

151

Не отсутствием ли «римского ноля» в традиционном наборе символов объясняется упорное исключение ноля из натурального ряда? Короче говоря, не находимся ли мы в этом вопросе в плену у латыни?

152

Заметим в связи с этим, что «физический» Натуральный Ряд, скорее всего, отличается от своей математической модели – «математического» Натурального Ряда. См. по этому поводу глубокую и недостаточно оценённую статью П. К. Рашевского [16], вошедшую в настоящее издание как приложение II.

153

Нетрудно заметить, что свойство закрытости формулы не зависит от того, применительно к какой структуре мы рассматриваем эту формулу; это свойство может быть определено чисто синтаксически по внешнему виду формулы. (Все переменные должны быть связаны кванторами; в этом и состоит закрытость.)

154

Моделью системы, или списка, аксиом называется всякая структура, удовлетворяющая каждой из аксиом системы.

155

«Вслед за У. В. Куайном мы принимаем этот этимологически более правильный термин вместо распространённого в настоящее время термина unary (унарный)» [7, прим. 29].

156

Когда мы говорим об аксиомах, мы имеем в виду символический язык, подобный описанному выше для сигнатуры {<}; только теперь в алфавит его знаков вместе с «<» входят «0», «'», «+», «·».

157

Точнее, это становится очевидным, если разумным образом распространить отношение строгого порядка «<» с конечных мощностей (т. е. конечных количеств) на все мощности, включая и мощности бесконечные (т. е. бесконечные количества).

158

А залог ясности понимания вопроса состоит в ясности понимания возможных ответов на него.

159

Впрочем, не все придерживаются этой точки зрения. Так, Виктолий Иванович Будкин на с. 45 своей книги «Методика познания "истины". Доказательство Великой теоремы Ферма» (Ярославль: Верх. – Волж. кн. изд-во, 1975) указывает: «Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде». Следует отметить, что подавляющему большинству ферматистов всё же не удаётся опубликовать свои псевдодоказательства.

160

Этот прогноз, сделанный мной при первой публикации очерка, оказался слишком оптимистическим. Как мне сообщили в Российской академии наук в январе 2001 г., поток поступающих туда лжедоказательств теоремы Ферма не иссяк.

161

Мы по-прежнему пользуемся неточной терминологией и отождествляем слово «теорема» со словом «утверждение», а не со словосочетанием «доказанное утверждение».

162

Это значит, что существует алгоритм, который для любого с проверяет, верно ли

или нет.

163

Слова «истинно» и «верно» – синонимы. Слово «доказуемо» имеет другой смысл (даже другие смыслы).

164

По поводу «расплывания в большом» представлений о натуральном числе см. уже упоминавшуюся статью П. К. Рашевского [16].

165

См., например, относящееся к толкованию древнеегипетских текстов примечание переводчика С. Я. Лурье в работе [4, с. 139].

166

Вот что говорит по этому поводу академик Л. С. Понтрягин: «Первая известная нам математическая рукопись – это рукопись Ахмеса, составленная за две тысячи лет до нашей эры. В ней содержатся некоторые алгебраические и геометрические правила: например, вычисление площади треугольника ‹…› Однако в папирусе Ахмеса была допущена ошибка. Согласно ему, площадь равнобедренного треугольника равна произведению основания на половину боковой стороны, а каждый сегодняшний школьник