которые определяют положение точки на поверхности. Первая координата – это координата рассматриваемой точки на той линии, движением которой образована наша поверхность. Вторая координата – это то расстояние, которое прошла точка при движении линии по поверхности; данное расстояние может измеряться длиной, углом или ещё как-нибудь. Когда в школе в рамках курса математики изучают координаты на плоскости (абсциссу и ординату), исходят из измерения длин. Когда же на уроках географии знакомятся с координатами на поверхности Земли (широтой и долготой), исходят из измерения углов. Рекомендуем читателю подумать, как можно ввести координаты на поверхности тора.

Тела трёхмерны, и положение точки тела определяется тремя координатами. Чтобы задать, скажем, положение точки в толще Земли, надо указать две координаты на поверхности и затем третью, показывающую глубину.

В нашем мире нет четырёхмерных геометрических фигур. Но если очень напрячь воображение, можно представить себе их существование. Для этого перенесёмся в воображаемый плоский мир, так называемую Флатландию. Флатландия – это плоскость, населённая плоскими, не имеющими толщины существами – флатландцами.

Для них двумерная плоскость – это их мир, их вселенная; третье измерение недоступно их опыту. Они живут не на, а в плоскости (мы бы сказали «в её толще», если бы плоскость имела толщину). Представить себе трёхмерные тела они не в состоянии, но понимают, что такое два, одно и ноль измерений. Слово «поверхность» во флатландском языке отсутствует, поскольку нет ничего, что могло бы иметь поверхность. На уроках математики флатландским школьникам объясняют, что нет и не может быть такой прямой, которая проходила бы через вершину прямого угла и была перпендикулярна к двум его сторонам. Но некоторые флатландцы путём напряженных размышлений чисто умозрительно додумались до возможности существования трёхмерного мира с расположенными в нём трёхмерными телами, мира понятного нам с вами, живущим в этом мире, уважаемый читатель, флатландцам же недоступного. Эти же флатландцы утверждают, что если такой мир существует, то существует и та прямая, невозможность существования которой доказывают в школах; эта прямая протыкает Флатландию насквозь в вершине упомянутого прямого угла. Для пишущего эти строки важно, чтобы читатель понял, как устроена Флатландия, и проникся мировоззрением флатландцев. Может быть, кому-то покажется более понятным такая псевдофизическая модель Флатландии. Вместо плоскости возьмём тонкий слой, ограниченный двумя параллельными плоскостями (для наглядности – горизонтальными). Потребуем, чтобы в этом слое действовало следующее мироустройство: все геометрические фигуры состоят не из точек, как мы привыкли, а из вертикальных отрезков, перпендикулярных к ограничивающим плоскостям и упирающихся в них концами. Отрезки эти неделимы, как атомы в представлениях, державшихся до начала ХХ в.; никаких частей у вертикальных отрезков не существует. Все движения в слое происходят лишь вдоль ограничивающих плоскостей; направлений вверх и вниз просто-напросто не существует. Это и будет Флатландия, мир которой, с точки зрения его обитателей, двумерен.

Вот так и мы, следуя примеру философов и математиков Флатландии, усилием воображения можем допустить существование четырёхмерного мира с расположенными в нём четырёхмерными геометрическими фигурами – гипертелами. Мы не назвали их четырёхмерными телами, чтобы избежать путаницы. Ведь в принятой нами системе терминов слово «тело» уже подразумевает трёхмерность.

Путаница может возникнуть и со словом «пространство». Оно очень многозначно. К сожалению, все его значения важны, поэтому выбрать какое-либо одно из них, а остальные запретить невозможно. В цитате из учебника Киселёва этим словом обозначалось обычное, «школьное» пространство, в котором располагаются шары и многогранники.

Это пространство трёхмерно и евклидово (термин будет разъяснён далее). В школе молчаливо предполагают, что это и есть то физическое пространство, которое нас окружает, говоря попросту, «наше пространство». (В главе 8 мы вкратце обсудили возможность того, что физическое пространство не является евклидовым.)

Вернёмся на несколько минут к Флатландии. Треугольники, изображенные на рис. 3, не конгруэнтны относительно плоскости, но – для нас! – конгруэнтны относительно пространства. С флатландской же точки зрения, они, разумеется, изометричны, но не конгруэнтны ни в каком смысле, поскольку возможности выхода в трёхмерное пространство не существует во флатландском миропонимании. Но это если говорить о миропонимании флатландского обывателя, «человека с улицы». Однако, как уже было сказано, некоторые флатландские мыслители осознали теоретическую возможность существования третьего измерения и того, что указанные треугольники конгруэнтны относительно трёхмерного мира. Таким образом, эти мыслители (математики, философы, фантасты) допускают возможность такого, выходящего за пределы Флатландии перемещения, при котором один из треугольников с рис. 3 превратится в другой. Попытаемся взять пример с этих продвинутых, пытливых флатландцев и допустить, скажем, такое выводящее за пределы нашей трёхмерной Вселенной перемещение, при котором одна из пирамид с рис. 4 превращается в другую. Собственно, нет нужды ходить за примерами в Флатландию, вдохновляющий пример можно найти и на Земле, а именно у Г. Дж. Уэллса.

В 1896 г. Уэллс написал уже упоминавшуюся «Историю Платтнера» – рассказ о том, как школьный учитель Готфрид Платтнер, совершивший фантастическое путешествие, возвращается из него зеркально перевёрнутым. До путешествия он не был левшой, и тело его имело нормальное строение, за исключением лёгкой асимметрии: «Левый глаз немного больше правого, и челюсть чуть-чуть отвисает с левой стороны». А вот каким он сделался после путешествия: «Правый глаз немного больше левого, и правая часть челюсти слегка тяжелее левой. ‹…› Сердце Готфрида бьётся с правой стороны! ‹…› Все другие несимметричные части его тела расположены не на своих местах. Правая доля его печени расположена с левой стороны, левая – с правой, аналогично перепутаны и лёгкие. ‹…› Он может писать только левой рукой, причём справа налево»[81]. Заметим, что «новый» Платтнер изометричен самому себе «старому».

Уэллс объясняет происшедшие с Платтнером изменения выходом в другой мир, в четвёртое измерение: «Если вы вырежете из бумаги любую фигуру, имеющую правую и левую стороны, вы можете легко переместить эти стороны, если поднимете и перевернёте фигуру. Но с предметом объёмным дело обстоит иначе. Теоретики-математики говорят нам, что единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, – это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство), вынуть его из обычных условий и переместить куда-то вне пространства. ‹…› Случившаяся у Платтнера перемена местами правой и левой частей есть не что иное, как доказательство того, что он переходил из нашего пространства в так называемое Четвёртое Измерение, а затем снова вернулся в Наш Мир».

Называя пространство евклидовым, мы тем самым подчёркиваем, что в нём выполняются аксиомы Евклида. В школьной математике слова «трёхмерное» и «евклидово» опускают и говорят просто «пространство», предполагая его и евклидовым, и трёхмерным. В этом пространстве, в отличие от Флатландии, можно найти три попарно перпендикулярных луча, исходящих из одной точки, но