вот четвёртого луча, перпендикулярного к этим трём, найти не удаётся; более того, можно доказать, что такого луча и не существует. Однако если допустить возможность прямых, протыкающих пространство ровно в одной точке, то можно построить и четвёртый луч.

Евклидово расстояние

Евклидовость пространства можно определить и без ссылок на аксиомы Евклида. Дело в том, что в трёхмерном евклидовом пространстве расстояние s между точкой с координатами (x1, y1, z1) и точкой с координатами (x2, y2, z2) задаётся формулой

s² = (x1 – x2)² + (y1 – y2)² + (z1 – z2)².

Вот эта формула задания расстояний в трёхмерном пространстве и определяет его евклидовость. Иначе говоря, евклидовым называют такое трёхмерное пространство, в котором расстояние задаётся указанной формулой.

На плоскости расстояние s между двумя точками с координатами (x1, y1) и (x2, y2) задаётся формулой

s² = (x1 – x2)² + (y1 – y2)².

Поэтому плоскость называют двумерным евклидовым пространством.

На прямой расстояние s между двумя точками с координатами x1 и x2 задаётся формулой

s² = (x1 – x2)².

Поэтому прямую называют одномерным евклидовым пространством.

Расстояния, определяемые выписанными формулами, называются евклидовыми. Приведём для ясности пример неевклидовых расстояний. Таковы, в частности, все расстояния, измеряемые по поверхности Земли, если считать Землю эллипсоидом. Чтобы получить евклидово расстояние между двумя точками на земной поверхности, надо провести через эти две точки прямую, которая неизбежно будет проходить в толще планеты, и измерить длину соединяющего точки отрезка. Для жителей Земли, однако, больший интерес представляют именно расстояния по поверхности.

Надеемся, читатель уже понял, что положение точки в четырёхмерном пространстве задаётся четырьмя координатами. При этом евклидовость четырёхмерного пространства означает, что евклидовым является расстояние s между точкой с координатами (x1, y1, z1, u1) и точкой с координатами (x2, y2, z2, u2), т. е. что оно задаётся формулой

s² = (x1 – x2)² + (y1 – y2)² + (z1 – z2)² + (u1 – u2)².

Точка в шестимерном пространстве имеет шесть координат. Предоставляем читателю написать формулу евклидова расстояния между точкой с координатами (x1, y1, z1, u1, v1, w1) и точкой с координатами (x2, y2, z2, u2, v2, w2).

В математике принято отождествлять точку с набором её координат. При таком отождествлении точка прямой – это просто-напросто действительное число, а прямая (она же одномерное евклидово пространство) – это множество всех действительных чисел с евклидовым расстоянием между ними. Точно так же точка плоскости (двумерного евклидова пространства) – это пара действительных чисел (x, y), а сама плоскость – множество всех пар действительных чисел с евклидовым расстоянием между парами. Трёхмерное, четырёхмерное и т. д. пространство – это множество всех троек (всех четвёрок и т. д.) действительных чисел (x, y, z) с евклидовым расстоянием между тройками (четвёрками и т. д.).

Таким образом, нет нужды воображать существование какого-то четырёхмерного мира, объемлющего наш трёхмерный. Можно ограничиться изучением четвёрок действительных чисел и евклидовых расстояний между этими четвёрками. В своих строгих рассуждениях математики так и поступают. Однако одновременно пользуются и геометрическими образами, как если бы четырёхмерный мир существовал.

Более того, некоторые математики (автор этих строк к ним не принадлежит) выработали в себе значительную геометрическую интуицию и способны «видеть» (внутренним зрением, разумеется) фигуры четырёхмерного пространства. В мои студенческие годы желающих, среди которых был и я, собрали в одной из больших аудиторий университета и показали фильм «Вращение куба в четырёхмерном пространстве». На экране мелькали отрезки, я мало что понял, но впечатлился. Сделаю робкую попытку пояснить читателю, что именно происходило. Представим себе квадрат, расположенный в Флатландии, вращение этого квадрата вокруг его центра в пределах флатландской плоскости и флатландца, наблюдающего это вращение. На рис. 6 показаны два положения квадрата – А и B и наблюдающий флатландец (точнее, его глаз). Когда квадрат находится в положении А, наблюдатель видит отрезок, длина которого равна стороне квадрата. Когда квадрат придёт в положение B, наблюдатель увидит отрезок, длина которого равна диагонали квадрата. Во время вращения наблюдатель будет видеть отрезок варьирующейся длины, которая непрерывно изменяется от длины стороны до длины диагонали и обратно. Теперь представим себе другую картину. Примем, что квадрат состоит из одних своих сторон, а внутри он пустой. Пусть он вращается вокруг оси, проходящей через середины P и Q противоположных сторон, – с выходом за пределы Флатландии. На рис. 7 показаны два флатландских наблюдателя I и II. Что они увидят? Для наблюдателя I точки P и Q сольются в одну, её он будет видеть всё время, а в какой-то миг – проходящий через неё отрезок. Наблюдатель II будет всё время видеть две точки P и Q, а в какой-то миг – сторону квадрата, которая заслонит собою эти точки. Этот миг наступит, когда все стороны квадрата окажутся во Флатландии. А теперь представим себе, что вращение вокруг оси PQ некто, находящийся в трёхмерном, внешнем по отношению к Флатландии, пространстве, снимает (на плёнку, на диск или на что ещё теперь снимают), а затем показывает на плоском экране. Что увидит зритель на экране? Он увидит мелькание сторон периодически меняющего свою форму четырёхугольника. Аналогично если оператор, пребывающий в четырёхмерном, внешнем по отношении к нашему трёхмерному миру, пространстве, заснимет вращение куба, то мы увидим на экране мелькание граней этого куба. Что и узрели в конце 1940-х гг. студенты мехмата МГУ.

Таким образом, мы видим два подхода к многомерной (в частности, четырёхмерной) евклидовой геометрии, различающиеся скорее психологически, чем сущностно. При одном подходе четырёхмерное, пятимерное и т. д. евклидово пространство (как и пространства трёхмерное, двумерное, одномерное) состоит из геометрических точек, и каждая точка имеет числовые координаты. При другом оно состоит из наборов чисел, каковые наборы и являются точками. Каждый из этих подходов предполагает, что расстояние между точками евклидово. Наибольшую пользу приносит сочетание двух этих подходов. (Здесь прослеживается некоторая отдалённая аналогия с физикой, где электрон – и частица, и волна одновременно.)

Георгию Борисовичу Шабату принадлежит замечательный термин «плюриагорафобия» – боязнь многомерного пространства. В порядке борьбы с этой фобией слегка прикоснёмся к представлению о четырёхмерном кубе.

Возьмём единичный квадрат (квадрат со стороной, длина которой равна единице), такой, что одна из его вершин расположена в начале